Пространство Rn
[math]\displaystyle{ R^n=\{{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T, \hbox{ где } x_i\in R, i=1,\ldots,n\} }[/math].
Число [math]\displaystyle{ n }[/math] в этом случае будет размерностью пространства.Так [math]\displaystyle{ R^1=R }[/math] — одномерное множество вещественных чисел, пространство [math]\displaystyle{ R^2 }[/math] задает множество точек на плоскости, [math]\displaystyle{ R^3 }[/math] представляет собой наше трехмерное пространство, и т.д.
Метрика в пространстве [math]\displaystyle{ R^n }[/math]
Для произвольных [math]\displaystyle{ {\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T }[/math], [math]\displaystyle{ {\bf y}=(y_1,\ldots,y_n)^T }[/math] можно положить [math]\displaystyle{ \rho_1({\bf x},{\bf y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2} }[/math]. Такая метрика называется сферической (или евклидовой). Она равна геометрическому расстоянию между точками [math]\displaystyle{ {\bf x} }[/math] и [math]\displaystyle{ {\bf y} }[/math].
Проверим аксиомы для этой метрики. Неотрицательность и симметричность, очевидно, имеют место. Докажем справедливость неравенства треугольника.
Для любых чисел [math]\displaystyle{ t,a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n }[/math] верно неравенство [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n(a_it+b_i)^2 \geq 0 }[/math]. Отсюда имеем [math]\displaystyle{ At^2+2Bt+C\geq0, }[/math] где [math]\displaystyle{ A=\sum\limits_{i=1}^na_i^2 }[/math], [math]\displaystyle{ B=\sum\limits_{i=1}^na_ib_i }[/math], [math]\displaystyle{ C=\sum\limits_{i=1}^nb_i^2 }[/math]. Поскольку неравенство выполняется при всех [math]\displaystyle{ t }[/math], то соответствующий дискриминант квадратичного выражения должен удовлетворять условию: [math]\displaystyle{ B^2-AC\leq0 }[/math]. Значит, [math]\displaystyle{ \left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2-\left(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2\right)\leq0. }[/math]
Тогда [math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^na_ib_i\leq\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}. }[/math]
Получаем [math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^na_i^2+\sum\limits_{i=1}^nb_i^2+2\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\leq\sum\limits_{i=1}^na_i^2+\sum\limits_{i=1}^nb_i^2+2\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}, }[/math] или [math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^2\leq\left(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}\right)^2. }[/math]
В результате находим, что [math]\displaystyle{ \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^2}\leq\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}+\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nb_i^2}. }[/math]
Выберем произвольные [math]\displaystyle{ {\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T }[/math], [math]\displaystyle{ {\bf y}=(y_1,\ldots,y_n)^T }[/math], [math]\displaystyle{ {\bf z}=(z_1,\ldots,z_n)^T }[/math]. Положим: [math]\displaystyle{ a_i=x_i-z_i,\quad b_i=z_i-y_i,\quad i=1,\dots,n. }[/math] Приходим к неравенству треугольника. Следовательно все аксиомы для сферической метрики выполнены.
Заметим, что окрестность [math]\displaystyle{ U_{\varepsilon}^{(1)}({\bf x}_0)=\{{\bf x}\in R^n: \rho_1({\bf x},{\bf x}_0) \lt \varepsilon\} }[/math] представляет собой геометрический шар (поэтому данная метрика и называется сферической).
Метрику можно вводить по-разному, вопрос лишь в удобстве использования той или иной формулы при решении различных задач. Так, например, для пространства [math]\displaystyle{ R^n }[/math] можно положить [math]\displaystyle{ \rho_2({\bf x},{\bf y})=\max_{i=1,\ldots,n}|x_i-y_i|, }[/math] все аксиомы метрики также будут выполнены.
Окрестность [math]\displaystyle{ U_{\varepsilon}^{(2)}({\bf x}_0)=\{{\bf x}\in R^n: \rho_2({\bf x},{\bf x}_0) \lt \varepsilon\} }[/math] в этом случае представляет собой геометрический параллелепипед. Поэтому метрику [math]\displaystyle{ \rho_2 }[/math] принято называть параллелепипедальной.
Отметим, что при [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] эти две метрики совпадают ([math]\displaystyle{ \rho_1(x,y)=\rho_2(x,y)=|x-y| }[/math]).
- для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] можно указать такое [math]\displaystyle{ \varepsilon_1 \gt 0 }[/math], что [math]\displaystyle{ U_{\varepsilon_1}^{(2)}({\bf x})\subset U_{\varepsilon}^{(1)}({\bf x}) }[/math];
- для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] можно указать такое [math]\displaystyle{ \varepsilon_2 \gt 0 }[/math], что [math]\displaystyle{ U_{\varepsilon_2}^{(1)}({\bf x})\subset U_{\varepsilon}^{(2)}({\bf x}) }[/math].
Лемма утверждает, что в любую сферическую окрестность элемента из [math]\displaystyle{ R^n }[/math] можно всегда поместить некоторую параллелепипедальную окрестность, и наоборот. Из этого следует, что метрики [math]\displaystyle{ \rho_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \rho_2 }[/math] эквивалентны в плане близости элементов (т.е. все результаты, доказанные с использованием одной метрики, будут справедивы и для другой).
Есть и другие способы выбора метрики в пространстве [math]\displaystyle{ R^n }[/math]. Далее, если не оговорено противное, под метрикой [math]\displaystyle{ \rho({\bf x},{\bf y}) }[/math] будем понимать евклидову (сферическую) метрику.