Полиномы

Определение:

Полиномом степени $n$ называется сумма $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + ... + a_{n-1} x + a_{n},$ где $a_{i}$, $i = \overline{0,n}$ — комплексные числа, причем $a_{0} \ne 0$. Число $n$ называется степенью полинома $f(x)$ и обозначается $n=\deg f(x)$. Если $a_{0} =1$, то полином называется приведенным.

Непосредственно из определения следует, что число $a_{0}$ является полиномом нулевой степени. Число $0$ также является полиномом, но его степень не определена.

Определение:

Два полинома $f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + ... + a_{n-1} x + a_{n}$ и $g(x) = b_{0} x^{n} + b_{1} x^{n-1} + ... + b_{n-1} x + b_{n}$ называются равными (обозначение $f(x)=g(x)$), если для любого $k=\overline{0,n}$ справедливы равенства $a_{k} =b_{k}$.

Теорема:

Для любых двух полиномов $f(x)$ и $g(x)$, $\deg f\ge \deg g$, существуют такие однозначно определяемые полиномы $q(x)$ и $r(x)$, что $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, причем $\deg r(x)<\deg g(x)$, либо $r(x)\equiv 0$.

Доказательство:

Пусть $f(x) = a_{0} x^{n} + ... + a_{n-1} x + a_{n} $, $g(x) = b_{0} x^{m} + ... + b_{m-1} x + b_{m}$, $n\ge m$, $a_{0} \ne 0$, $b_{0} \ne 0$. Построим вспомогательный полином $f_{1} (x) = f(x) - \frac{ a_{0} }{ b_{0} } x^{n-m} g(x)$.

Очевидно, что степень построенного полинома $n_{1} =\deg f_{1} (x)<n$. Пусть $a_{10}$ — старший коэффициент полинома $f_{1} (x)$, таким образом, $f_{1} (x) = a_{1,0} x^{n_1} + ... +a_{1,n_1 - 1} x + a_{ 1,n_1 }$. Если $n_{1} \ge m$, то строим следующий полином $f_{2} (x) = f_{1} (x) - \frac{ a_{1,0} }{ b_{0} } x^{n_{1} - m} g(x)$.

Ясно, что справедливо соотношение $n_{2} = \deg f_{2} (x) < n_{1} $, причем $f_{2} (x) = a_{2,0} x^{n_{2} } + ... + a_{2,n_2 - 1} x + a_{2,n_2}$, где коэффициент $a_{2,0} \ne 0$. Если $n_{2} \ge m$, то находим другой полином $f_{3} (x) = f_{3} (x) - \frac{ a_{2,0} }{b_0} x^{n_{2} - m} g(x)$, причем $n_{3} = \deg f_{3} (x)<n_{2} $ и т. д.

По построению $n > n_{1} > n_{2} > n_{3} > ...$, поэтому после конечного числа шагов получаем полином $f_{k} (x)$ такой, что $n_{k} = \deg f_{k} (x) < m$, где $f_{k} (x) = f_{k-1} (x) - \frac{a_{k-1,0} }{ b_{0} } x^{n_{k-1} - m} g(x)$.

Складывая последовательно записанные равенства, получаем $f_{1} (x) + f_{2} (x) + ... + f_{k-1} (x) + f_{k} (x) = f(x) + f_{1} (x) + ... + f_{k-1} (x) - \left[\frac{a_0}{b_0} x^{n-m} +\frac{a_{1,0} }{b_0} x^{n_{1}-m} + ... + \frac{a_{k-1,0} }{b_0} x^{n_{k-1}-m} \right] g(x).$

Тогда после сокращений окончательно имеем $f_{k} (x) = f(x)-\left[\frac{a_0}{b_0} x^{n-m} + \frac{a_{1,0} }{b_{0} } x^{n_{1}-m} + ... + \frac{a_{k-1,0} }{b_0} x^{n_{k-1}-m} \right] g(x),$ поэтому если $q(x) = \frac{a_{0} }{b_{0} } x^{n-m} + \frac{a_{1,0} }{b_0} x^{n_{1}-m} + ... + \frac{a_{k-1,0} }{b_0} x^{n_{k-1}-m}, r(x)=f_{k} (x),$ то получаем равенство $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$.

Докажем теперь, что полиномы $q(x)$ и $r(x)$ определяются однозначно. Предположим, что существуют полиномы $\bar{q}(x)$ и $\bar{r}(x)$, причем $f(x)=g(x)\bar{q}(x)+\bar{r}(x)$, $\deg \bar{r}(x)<\deg g(x)$ (или $\bar{r}(x)\equiv 0$). Вычитая указанное равенство из $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, получаем $g(x)[q(x)-\bar{q}(x)] = \bar{r}(x)-r(x).$

Но $\deg \{ g(x)[q(x)-\bar{q}(x)]\} \ge \deg g(x)$, в то время как $\deg [\bar{r}(x)-r(x)]<\deg g(x)$. Полученное противоречие доказывает однозначность определения полиномов $q(x)$ и $r(x)$, т. е. $q(x)=\bar{q}(x)$, $r(x)=\bar{r}(x)$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Определение:

Полином $q(x)$ называется частным, а $r(x)$ — остатком от деления полинома $f(x)$ на полином $g(x)$.

Определение:

Если $r(x)\equiv 0$, то говорят, что полином $f(x)$ делится нацело на полином $g(x)$ (обозначение $f\vdots g$), а сам полином $g(x)$ при этом называется делителем полинома $f(x)$.