Рациональные дроби

Определение:

Рациональной дробью называется отношение двух полиномов с вещественными коэффициентами $\frac{f(x)}{g(x)}$, где полином $g(x)$ тождественно не равен нулю.

Определение:

Рациональная дробь называется несократимой, если полиномы $f(x)$ и $g(x)$ взаимно просты.

Любая рациональная дробь $\frac{f(x)}{g(x)}$ приводится к несократимой, если ее числитель и знаменатель разделить на наибольший общий делитель полиномов $f(x)$ и $g(x)$.

Определение:

Рациональная дробь $\frac{f(x)}{g(x)}$ называется правильной, если $\deg f(x)<\deg g(x)$.

Добавим к множеству всевозможных правильных рациональных дробей число $0$.

Теорема:

Любая рациональная дробь однозначно представляется в виде суммы полинома и правильной дроби.

Доказательство:

Действительно, если $\deg f(x)\ge \deg g(x)$, то существуют такие однозначно определяемые полиномы $q(x)$ и $r(x)$, что $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$, где $\deg r(x)<\deg g(x)$. Тогда $\frac{f(x)}{g(x)} =q(x)+\frac{r(x)}{g(x)}$, причем $q(x)$ — полином, а $\frac{r(x)}{g(x)}$ — правильная дробь.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Определение:

Правильная дробь $\frac{f(x)}{g(x)}$ называется простейшей, если ее знаменатель $g(x)$ является степенью неприводимого полинома $p(x)$, то есть $g(x)=p^{k} (x)$.

Теорема:

Любая правильная рациональная дробь однозначно с точностью до порядка слагаемых разлагается в сумму простейших дробей.

Доказательство:

Для доказательства рассмотрим сначала правильную несократимую рациональную дробь $\frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)}$.

Будем считать, что $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ два взаимно простых полинома, а поэтому существуют такие $\bar{u}_{0} (x)$ и $\bar{u}_{1} (x)$, что $\bar{u}_{0} (x)f_{0} (x)+\bar{u}_{1} (x)f_{1} (x)=1$. Умножим обе части этого равенства на полином $f(x)$, получаем

[math]\displaystyle{ f_{0} (x)[\bar{u}_{0} (x)f(x)]+f_{1} (x)[\bar{u}_{1} (x)f(x)]=f(x). }[/math]

Представим полином $\bar{u}_{0} (x)f(x)$ в виде $\bar{u}_{0} (x)f(x)=f_{1} (x)q(x)+u_{0} (x)$, где $\deg u_{0} (x)<\deg f_{1} (x)$, и подставим его в предыдущее соотношение. Тогда

[math]\displaystyle{ f_{0} (x)u_{0} (x)+f_{1} (x)[f_{0} (x)q(x)+\bar{u}_{1} (x)f(x)]=f(x), }[/math]

то есть $f_{0} (x)u_{0} (x)+f_{1} (x)u_{1} (x)=f(x)$, где $u_{1} (x)=f_{0} (x)q(x)+\bar{u}_{1} (x)f(x)$.

Поскольку исходная дробь является правильной, то $\deg f<\deg (f_{0} f_{1})$. Так как по построению $\deg u_{0} <\deg f_{1}$, то, очевидно, $\deg (f_{0} u_{0} )<\deg (f_{0} f_{1} )$.

Так как $f_{1} (x)u_{1} (x)=f(x)-f_{0} (x)u_{0} (x)$, то $\deg (f_{1} u_{1} )\le \max \{ \deg f,\deg (f_{0} u_{0} )\} <\deg (f_{0} f_{1} )$.

Если разделить обе части соотношения $f_{0} (x)u_{0} (x)+f_{1} (x)u_{1} (x)=f(x)$ на произведение $f_{0} (x)f_{1} (x)$, то получаем

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)} =\frac{f_{0} (x)u_{0} (x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)} +\frac{f_{1} (x)u_{1} (x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)} =\frac{u_{0} (x)}{f_{1} (x)} +\frac{u_{1} (x)}{f_{0} (x)}. }[/math]

Таким образом, исходная несократимая правильная рациональная дробь $\frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)}$ представима в виде суммы правильных дробей.

Полиномы $f_{0} (x)$ и $f_{1} (x)$ можно представить в виде произведения степеней неприводимых, а значит, взаимно простых полиномов. Поэтому дробь $\frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)}$ допускает однозначное разложение в сумму правильных дробей

[math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{f_{0} (x)f_{1} (x)} =\frac{h_{1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)} +\frac{h_{2} (x)}{p_{2}^{k_{2} } (x)} +\cdots +\frac{h_{m} (x)}{p_{m}^{k_{m} } (x)}, }[/math]

где $f_{0} (x)f_{1} (x)=p_{1}^{k_{1} } (x)p_{2}^{k_{2} } (x)\cdots p_{m}^{k_{m} } (x)$, причем $p_{i} (x)\ne p_{j} (x)$, когда $i\ne j$.

Рассмотрим отдельно, например, первую дробь из правой части соотношения. Разделим $h_{1} (x)$ на полином $p_{1}^{k_{1} -1} (x)$ с остатком, а затем полученный остаток делим на полином $p_{1}^{k_{1} -2} (x)$ и так далее. В итоге получаем цепочку равенств:

\begin{align} h_{1} &= p_{1}^{k_{1} -1} q_{1} +r_{1} ,\\ r_{1} &= p_{1}^{k_{1} -2} q_{2} +r_{2} ,\\ &...,\\ r_{k_{1} -2} &=p_{1} q_{k_{1} -1} +r_{k_{1} -1}. \end{align}

Так как рассматриваемая дробь является правильной, то $\deg h_{1} <\deg p_{1}^{k_{1} } $. Кроме того, по построению $\deg r_{1} <\deg p_{1}^{k_{1} -1} $, следовательно, $\deg q_{1} <\deg p_{1} $. Рассуждая подобным образом, получаем, что для любого $i=\overline{1,k_{1} -1}$ справедливы неравенства $\deg q_{i} <\deg p_{1}$, $\deg r_{i} <\deg p_{1} $. Так как [math]\displaystyle{ h_{1} (x)=p_{1}^{k_{1} -1} (x)q_{1} (x)+p_{1}^{k_{1} -2} (x)q_{2} (x)+...+p_{1} (x)q_{k_{1} -1} (x)+r_{k_{1} -1} (x), }[/math] то дробь

[math]\displaystyle{ \frac{h_{1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)} =\frac{q_{1} (x)}{p_{1} (x)} +\frac{q_{2} (x)}{p_{1}^{2} (x)} +\cdots +\frac{q_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} -1} (x)} +\frac{r_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)}. }[/math]

Таким образом, доказали, что произвольная правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.

Для доказательства однозначности разложения в сумму простейших дробей предположим, что существует другое разложение дроби

[math]\displaystyle{ \frac{h_{1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)} =\frac{\bar{q}_{1} (x)}{p_{1} (x)} +\frac{\bar{q}_{2} (x)}{p_{1}^{2} (x)} +\cdots +\frac{\bar{q}_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} -1} (x)} +\frac{\bar{r}_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)}. }[/math]

Вычтем это соотношение из первого разложения второе. Имеем

[math]\displaystyle{ \frac{q_{1} (x)-\bar{q}_{1} (x)}{p_{1} (x)} +\frac{q_{2} (x)-\bar{q}_{2} (x)}{p_{1}^{2} (x)} +\cdots +\frac{q_{k_{1} -1} (x)-\bar{q}_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} -1} (x)} +\frac{r_{k_{1} -1} (x)-\bar{r}_{k_{1} -1} (x)}{p_{1}^{k_{1} } (x)} =0. }[/math]

Умножая обе части на полином $p_{1}^{k_{1} -1} (x)$, получаем, что сумма полинома и правильной дроби равна нулю, что, однако, невозможно.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]