Определители порядка n

Рассмотрим всевозможные произведения по $n$ элементов квадратной матрицы $A = \{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n}$, взятые в разных строках и разных столбцах, то есть $\alpha_{1j_{1}} \alpha_{2j_2} \cdots \alpha_{nj_n}$, где $j_{1}, j_2, ..., j_n$ составляют некоторую перестановку чисел $\{ 1, 2, ..., n-1, n\}$. Как известно, число таких перестановок равно $n!$.

Определение:

Определителем n-го порядка квадратной матрицы $A=[n\times n]$ называется сумма $n!$ всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца. Сомножители в этих произведениях записываются в порядке возрастания номеров строк. Тогда номера столбцов образуют перестановку. Слагаемые, у которых эта перестановка четная берутся со знаком $+$, а если нечетная, то со знаком $-$, то есть [math]\displaystyle{ \det A= \left|\begin{array}{cccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2n} \\ \ldots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \cdots & \alpha_{nn} \end{array}\right| = \sum_{\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_{1} } \alpha_{2j_2 } \cdots \alpha_{nj_n }. }[/math]

Свойства определителя

1. Произведение $\alpha_{i_{1} j_{1} } \alpha_{i_2 j_2 } \cdots \alpha_{i_n j_n }$, где $\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} $ и $\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} $ перестановки последовательности $\{ 1, 2, ..., n-1, n\} $ входит в определитель со знаком $(-1)^{m}$, $m = inv\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} + inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$.
2. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
3. Если хотя бы одна из строк определителя является нулевой, то определитель равен нулю.
4. Если элементы некоторой строки определителя представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель матрицы равен сумме двух определителей, в первом из которых в указанной строке стоят первые слагаемые, а во втором — вторые.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и то же число, то это эквивалентно умножению определителя на данное число.
6. При перестановке местами двух строк определитель меняет знак.
7. Определитель, в котором совпадают две строки, равен нулю.
8. Определитель, в котором две строки пропорциональны, равен нулю.
9. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, предварительно умноженной на произвольное число.

Доказательства свойств определителя

Свойство 1. Произведение $\alpha_{i_{1} j_{1} } \alpha_{i_2 j_2 } \cdots \alpha_{i_n j_n }$, где $\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} $ и $\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} $ перестановки последовательности $\{ 1, 2, ..., n-1, n\} $ входит в определитель со знаком $(-1)^{m}$, $m = inv\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} + inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n\}$.

Доказательство. Для того чтобы воспользоваться определением определителя необходимо расположить сомножители в порядке возрастания номеров строк, а затем подсчитать число инверсий в перестановке, определяемой номерами столбцов. Однако при перестановке сомножителей происходит транспозиция, как в первой, так и во второй перестановке. При этом в каждой перестановке число инверсий изменяется на нечетное число, поэтому суммарное изменение числа инверсий будет четным. Следовательно,

[math]\displaystyle{ (-1)^{inv\{ i_{1}, i_2, ..., i_n \} + inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } = (-1)^{inv\{ 1, 2, ..., n\} + inv\{ l_{1}, l_2, ..., l_n \} }, }[/math]

то есть знак произведения определяется в соответствии с указанной формулой.

Свойство 2. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

Доказательство. Брать произведения элементов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы эквивалентно тем же действиям с транспонированной матрицей. Каждое произведение в определителе исходной матрицы имеет знак, совпадающий со знаком соответствующего произведения в определителе транспонированной матрицы.

Таким образом, в определителе строки и столбцы равноправны. Следовательно, все свойства определителя справедливые для его строк, справедливы и для его столбцов.

Свойство 3. Если хотя бы одна из строк определителя является нулевой, то определитель равен нулю.

Доказательство. В каждом произведении определителя в качестве сомножителя обязательно присутствует элемент из указанной нулевой строки, поэтому $\det A = 0$.

Свойство 4. Если элементы некоторой строки определителя представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель матрицы равен сумме двух определителей, в первом из которых в указанной строке стоят первые слагаемые, а во втором — вторые.

Доказательство. Пусть строка $a_{i} = b_{i} +c_{i}$, где $a_{i} =(\alpha_{i1} \, \alpha_{i2} \, ...\, \alpha_{in} )$, $b_{i} = (\beta_{i1} \, \beta_{i2} \, ...\, \beta_{in})$, $c_{i} =(\gamma_{i1} \, \gamma_{i2} \, ...\, \gamma_{in} )$. Тогда

[math]\displaystyle{ \det A=\sum_{\{ j_1, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_1, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_1} \alpha_{2j_2} \cdots (\beta_{ij_i} + \gamma_{ij_i} )\cdots \alpha_{nj_n} = }[/math] [math]\displaystyle{ =\sum_{\{ j_1, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_1, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_1 } \alpha_{2j_2 } \cdots \beta_{ij_i } \cdots \alpha_{nj_n } + \sum_{\{ j_1, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_1, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_1 } \alpha_{2j_2 } \cdots \gamma_{ij_i } \cdots \alpha_{nj_n }. }[/math]

Таким образом,

[math]\displaystyle{ \det A = \det [a_{1}, ..., a_{i-1}, a_{i}, a_{i+1}, ..., a_n ]=\det [a_{1}, ...,a_{i-1}, b_{i}, a_{i+1}, ...,a_n ]+\det [a_{1}, ..., a_{i-1}, c_{i}, a_{i+1}, ..., a_n]. }[/math]

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и то же число, то это эквивалентно умножению определителя на данное число.

Доказательство. Пусть элементы строки $a_{i} $ определителя матрицы $\bf A$ умножены на число $\gamma$. Тогда

[math]\displaystyle{ \det [a_{1}, ..., \gamma a_{i}, ..., a_n ] = \sum_{\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_{1} } \alpha_{2j_2 } \cdots (\gamma \alpha_{ij_{i} } )\cdots \alpha_{nj_n } = }[/math] [math]\displaystyle{ = \gamma \sum_{\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_{1} } \alpha_{2j_2 } \cdots \alpha_{ij_{i} } \cdots \alpha_{nj_n } = \gamma \det A. }[/math]

Свойство 6. При перестановке местами двух строк определитель меняет знак.

Доказательство. Пусть [math]\displaystyle{ \det A = \left|\begin{array}{ccccccc} \alpha_{11} & ... & \alpha_{1j_k} & ... & \alpha_{1j_l} & ... & \alpha_{1n} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{k1} & ... & \alpha_{kj_k} & ... & \alpha_{kj_l} & ... & \alpha_{kn} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{l1} & ... & \alpha_{lj_k} & ... & \alpha_{lj_l} & ... & \alpha_{ln} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{n1} & ... & \alpha_{nj_k} & ... & \alpha_{nj_l} & ... & \alpha_{nn} \end{array}\right|. }[/math]

Если в определителе поменять $k$-ю и $l$-ю строки местами, то получаем

[math]\displaystyle{ \det B = \left|\begin{array}{ccccccc} \alpha_{11} & ... & \alpha_{1j_k} & ... & \alpha_{1j_l} & ... & \alpha_{1n} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{l1} & ... & \alpha_{lj_k} & ... & \alpha_{lj_l} & ... & \alpha_{ln} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{k1} & ... & \alpha_{kj_k} & ... & \alpha_{kj_l} & ... & \alpha_{kn} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{n1} & ... & \alpha_{nj_k} & ... & \alpha_{nj_l} & ... & \alpha_{nn} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccccccc} \beta_{11} & ... & \beta_{1j_k} & ... & \beta_{1j_l} & ... & \beta_{1n} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \beta_{k1} & ... & \beta_{kj_k} & ... & \beta_{kj_l} & ... & \beta_{kn} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \beta_{l1} & ... & \beta_{lj_k} & ... & \beta_{lj_l} & ... & \beta_{ln} \\ \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots & ... & \vdots \\ \beta_{n1} & ... & \beta_{nj_k} & ... & \beta_{nj_l} & ... & \beta_{nn} \end{array}\right|. }[/math]

Воспользуемся определением определителя, получаем

[math]\displaystyle{ \det B = \sum_{\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_{1}, j_2, ..., j_n \} } \beta_{1j_{1} } \cdots \beta_{kj_k} \cdots \beta_{lj_l} \cdots \beta_{nj_n} = \sum_{\{ j_1, j_2, ..., j_n \} }(-1)^{inv\{ j_1, j_2, ..., j_n \} } \alpha_{1j_1 } \cdots \alpha_{lj_k } \cdots \alpha_{kj_{l} } \cdots \alpha_{nj_n}. }[/math]

В определитель $\det A$ произведение $\alpha_{1j_1 } \cdots \alpha_{lj_k } \cdots \alpha_{kj_l } \cdots \alpha_{nj_n } $ входит со знаком $(-1)^{inv\{ j_1, ..., j_l, ..., j_k, ..., j_n \}}$, поскольку $l>k$, а в определитель $\det B$ — со знаком $(-1)^{inv\{ j_1, ..., j_k, ..., j_l, ..., j_n \}}$. Указанные знаки, очевидно, противоположны, так как в силу следствия~2.3.2 любая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную, то есть $\det A = -\det B$.

Свойство 7. Определитель, в котором совпадают две строки, равен нулю.

Доказательство. Если поменять местами совпадающие строки, то определитель должен поменять знак. Но тогда, очевидно, $\det A = -\det A$, то есть $\det A =0$.

Свойство 8. Определитель, в котором две строки пропорциональны, равен нулю.

Доказательство. Допустим, например, что первая строка определителя пропорциональна второй. Тогда

[math]\displaystyle{ \det [a_1, \lambda a_1, a_3, ..., a_n ] = \lambda \det [a_1, a_1, a_3, ..., a_n ]=0. }[/math]

Свойство 9. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, предварительно умноженной на произвольное число.

Доказательство. Действительно, [math]\displaystyle{ \det [a_1, ..., a_{i} + \lambda a_{j}, ..., a_{j}, ..., a_n ]=\det [a_1, ..., a_{i}, ..., a_{j}, ..., a_n ] + \lambda \det [a_1, ..., a_{j}, ..., a_{j}, ..., a_n ]. }[/math]

Но $\det [a_1, ..., a_{j}, ..., a_{j}, ..., a_n ]=0$, поэтому $\det [a_1, ..., a_{i} + \lambda a_{j}, ..., a_{j}, ..., a_n ]=\det [a_1, ..., a_{i}, ..., a_{j}, ..., a_n ]$.