Комплексные ряды
Пусть задана последовательность комплексных чисел $\big\{c_k\big\}_{k=1}^{+\infty}$. Тогда бесконечная сумма [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{1} \sum\limits_{k=1}^{+\infty}c_k \end{equation} }[/math] называется комплексным рядом.
Конечную сумму $C_n=\sum\limits_{k=1}^{n}c_k$ назовем частичной суммой ряда.
Будем писать $C=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}c_k$.
Таким образом, понятие сходимости комплексного ряда вводится также, как и для вещественного ряда.
Пусть $c_k=a_k+ib_k$, $k=1,2,\ldots$. Здесь $a_k=\hbox{Re} {c_k}$, $b_k=\hbox{Im} {c_k}$, $i$ — мнимая единица.
Рассмотрим вещественные ряды [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{2} \sum\limits_{k=1}^{+\infty}a_k,\quad \sum\limits_{k=1}^{+\infty}b_k. \end{equation} }[/math]
Положим $A_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$, $B_n=\sum\limits_{k=1}^{n}b_k$.
Если существуют конечные пределы $A=\lim_{n\to+\infty}A_n$, $B=\lim_{n\to+\infty}B_n$, то ряды (2) сходятся, а вещественные числа $A$, $B$ будут их суммами, соответственно. Будем писать $A=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}a_k$, $B=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}b_k$.
Доказательство следует из теории комплексных последовательностей:
[math]\displaystyle{
C=\lim_{n\to+\infty}C_n=\lim_{n\to+\infty}(A_n+iB_n)=\lim_{n\to+\infty}A_n+i\lim_{n\to+\infty}B_n=A+iB.
}[/math]
Согласно приведенной теореме, исследование сходимости комплексного ряда сводится к исследованию сходимости вещественных рядов.
Поскольку [math]\displaystyle{ |c_k|=\sqrt{a_k^2+b_k^2} }[/math], то [math]\displaystyle{ |a_k|\leq |c_k| }[/math], [math]\displaystyle{ |b_k|\leq |c_k| }[/math].
Пусть ряд (3) сходится. Тогда по первому признаку сходимости будут сходиться и ряды [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{+\infty}|a_k| }[/math], [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{+\infty}|b_k| }[/math]. Для вещественных рядов было ранее уже доказано, что из абсолютной сходимости следует обычная сходимость. Значит, ряды (2) сходятся, но тогда будет сходиться и ряд (1). Теорема доказана.
Отметим, что ряд (3) — это вещественный ряд, т.е. для анализа абсолютной сходимости комплексного ряда можно пользоваться всеми признаками сходимости знакопостоянных вещественных рядов.
Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. из обычной сходимости комплексного ряда может не следовать его абсолютная сходимость.
В этом случае сходимость называется неабсолютной или условной.
Аналогично можно ввести понятие функционального комплексного ряда: $\sum\limits_{k=1}^{+\infty}u_k(z)$. Здесь $u_k(z)$ — это функции комплексной переменной $z$, $k=1,2,\ldots$.
Рассмотрим, например, степенной комплексный ряд $f(z)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}c_k(z-z_0)^k.$ Здесь $z_0$, $c_k$ — заданные комплексные постоянные, $z$ — комплексная переменная. Как и в предыдущем параграфе, без потери общности можно исследовать только случай, когда $z_0=0$, т.е. [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{4} f(z)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}c_kz^k. \end{equation} }[/math]
Для ряда (4) справедлива та же теорема Абеля, что и для вещественного степенного ряда. Таким образом, существует вещественное число $0\leq R\leq+\infty$, называемое радиусом сходимости, такое что ряд (4) сходится абсолютно при [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{5} |z| \lt R \end{equation} }[/math] и расходится при [math]\displaystyle{ |z| \gt R }[/math]. Граница [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{6} |z|=R \end{equation} }[/math] нуждается в отдельном исследовании.
Отметим, что в комплексном случае область (5) представляет собой круг, а (6) — окружность. Ситуация со сходимостью на границе (6) может быть самая разная (на части окружности ряд может абсолютно сходиться, на другой части — неабсолютно сходиться, на третьей части — расходиться). Для нахождения радиуса сходимости $R$ можно использовать те же формулы Коши и Даламбера, что и для вещественных степенных рядов.
Определим, например, экспоненту от комплексной переменной как сумму степенного ряда [math]\displaystyle{ \begin{equation}\tag{7} e^z=1+z+\frac1{2!}z^2+\ldots+\frac1{n!}z^n+\ldots. \end{equation} }[/math] Радиус сходимости данного степенного ряда равен $+\infty$, т.е. формула (7) определена для любого комплексного $z$.
Пользуясь правилом умножения рядов (теорема Мертенса), нетрудно доказать, что для любых комплексных $z_1$ и $z_2$ верно: $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$.
Пусть $z=x+iy$, где $x=\hbox{Re} z$, $y=\hbox{Im} z$. Тогда [math]\displaystyle{ e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x\left(1+(iy)+\frac1{2!}(yi)^2+\ldots+\frac1{n!}(iy)^n+\ldots\right). }[/math]
Поскольку рассматриваемый ряд сходится абсолютно, в нем можно менять порядок слагаемых, как угодно. Сгруппируем слагаемые, относящие к вещественной и мнимой части: [math]\displaystyle{ e^{x+iy}=e^x\left((1-\frac1{2!}y^2+\frac1{4!}y^4-\ldots)+i(y-\frac1{3!}y^3+\frac1{5!}y^5-\ldots)\right)=e^x(\cos y+i\sin y). }[/math] Получили формулу Эйлера.
Аналогично имеем $e^{x-iy}=e^x(\cos y-i\sin y)$.
Отсюда (выбирая $x=0$) получим $\cos y=\frac12(e^{iy}+e^{-iy})$, $\sin y=\frac1{2i}(e^{iy}-e^{-iy})$. Иногда с комплексной экспонентой вычисления производить легче, чем с вещественными синусом и косинусом.
Из найденных соотношений можно вывести многие известные тригонометрические тождества. Например, для вещественных чисел $a$ и $b$ получим $e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)$. С другой стороны: $e^{i(a+b)}=\cos(a+b)+i\sin(a+b)$. Значит, $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$.
Отметим, что комплексная экспонента, в отличие от вещественной, не является взаимно однозначной функцией. Например, $e^{i\pi}=e^{-i\pi}=1$, т.е. разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Поэтому комплексный логарифм определяется неоднозначно.
Пусть $w$ — ненулевое комплексное число, и $w=e^z$. Тогда комплексное число $z$ называется натуральным логарифмом числа $w$ ($z=\ln w$).
Предположим, что $z=x+iy$, $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$. Здесь $r=|w|$, $\theta=\hbox{Arg} w$. Тогда из формулы Эйлера следует $r=e^x,\quad \cos\theta=\cos y$, $\sin\theta=\sin y$.
Таким образом, $x=\ln r$ — это вещественный логарифм, он определяется однозначно, и $y=\theta+2\pi k$, где $k$ может принимать любое целое значение, т.е. значение $y$ определяется неоднозначно.
Получаем $\ln w=\ln|w|+i(\hbox{Arg} w+2\pi k)$.