Определитель ступенчатой матрицы

Пусть $\Delta_k$ — определитель, полученный из определителя матрицы $A=\{ \alpha_{ij} \}_{i,j=1}^{n,n} $ после вычеркивания $(n-k)$ строк и $(n-k)$ столбцов.

Определение:

Определитель

[math]\displaystyle{ \Delta_k =\left|\begin{array}{ccc} \alpha_{i_1 j_1 } & ... & \alpha_{i_1 j_k } \\ \vdots & ... & \vdots \\ \alpha_{i_k j_1 } & ... & \alpha_{i_k j_k } \end{array}\right| }[/math]

называется минором порядка $k$.

Если, в свою очередь, из определителя матрицы $\bf A$ вычеркнуть строки $a_{i_1}, a_{i_2}, ..., a_{i_k} $ и столбцы $a^{j_1}, a^{j_2}, ..., a^{j_k}$, то получаем определитель порядка $(n-k)$, который называется дополнительным минором для минора $\Delta_k$ и обозначается $\bar{\Delta }_{n-k}$.

Определение:

Алгебраическим дополнением минора $\Delta_k $ называется величина $(-1)^{m} \bar{\Delta }_{n-k}$, где $m=i_1 +\cdots +i_k +j_1 +\cdots +j_k$.

Теорема (Теорема Лапласа):

Определитель матрицы $\bf A$ равен сумме произведений всех миноров порядка $k$, составленных из $k$ фиксированных строк указанного определителя, на алгебраические дополнения этих миноров.

Пример

Проиллюстрируем теорему Лапласа на примере определителя четвертого порядка.

[math]\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc} {\alpha_{11} } & {\alpha_{12} } & {\alpha_{13} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{21} } & {\alpha_{22} } & {\alpha_{23} } & {\alpha_{24} } \\ {\alpha_{31} } & {\alpha_{32} } & {\alpha_{33} } & {\alpha_{34} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{42} } & {\alpha_{43} } & {\alpha_{44} } \end{array}\right|=(-1)^{6} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{11} } & {\alpha_{12} } \\ {\alpha_{21} } & {\alpha_{22} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{33} } & {\alpha_{34} } \\ {\alpha_{43} } & {\alpha_{44} } \end{array}\right|+(-1)^{7} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{11} } & {\alpha_{13} } \\ {\alpha_{21} } & {\alpha_{23} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{32} } & {\alpha_{34} } \\ {\alpha_{42} } & {\alpha_{44} } \end{array}\right|+ }[/math] [math]\displaystyle{ +(-1)^{8} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{11} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{21} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{32} } & {\alpha_{33} } \\ {\alpha_{42} } & {\alpha_{43} } \end{array}\right|+(-1)^{8} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{12} } & {\alpha_{13} } \\ {\alpha_{22} } & {\alpha_{23} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{34} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{44} } \end{array}\right|+ }[/math]

[math]\displaystyle{ +(-1)^{9} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{12} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{22} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{33} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{43} } \end{array}\right|+(-1)^{10} \left|\begin{array}{cc} {\alpha_{13} } & {\alpha_{14} } \\ {\alpha_{23} } & {\alpha_{24} } \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} {\alpha_{31} } & {\alpha_{32} } \\ {\alpha_{41} } & {\alpha_{42} } \end{array}\right|. }[/math]

Теорема Лапласа является обобщением формулы разложения определителя матрицы $\bf A$ по элементам какой-либо строки (столбца).

Рассмотрим матрицу $A = \left(\begin{array}{ccc|ccc} \alpha_{11} & ... & \alpha_{1k} & 0 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha_{k1} & ... & \alpha_{kk} & 0 & ... & 0 \\ \hline \alpha_{k+1,1} & ... & \alpha_{k+1,k} & \alpha_{k+1,k+1} & ... & \alpha_{k+1,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha_{n1} & ... & \alpha_{nk} & \alpha_{n,k+1} & ... & \alpha_{nn} \end{array}\right)$, называемую ступенчатой матрицей.

Теорема:

Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей матриц, стоящих на главной диагонали, то есть [math]\displaystyle{ \det A = \left|\begin{array}{ccc} \alpha_{11} & \ldots & \alpha_{1k} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \alpha_{k1} & \ldots & \alpha_{kk} \end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc} \alpha_{k+1,k+1} & \ldots & \alpha_{k+1,k} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \alpha_{n,k+1} & \ldots & \alpha_{nn} \end{array}\right|. }[/math]

Доказательство:

Зафиксируем в матрице $A$ первые $k$ строк. Тогда все миноры порядка $k$, построенные на этих строках, равны нулю, за исключением возможно лишь минора, стоящего в левом верхнем углу, то есть минора [math]\displaystyle{ \Delta_k =\left|\begin{array}{ccc} \alpha_{11} & \ldots & \alpha_{1k} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \alpha_{k1} & \ldots & \alpha_{kk} \end{array}\right|, }[/math] причем дополнительный минор [math]\displaystyle{ \bar{\Delta }_{n-k} = \left|\begin{array}{ccc} \alpha_{k+1,k+1} & \ldots & \alpha_{k+1,k} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ \alpha_{n,k+1} & \ldots & \alpha_{nn} \end{array}\right|. }[/math]

Тогда в силу теоремы Лапласа [math]\displaystyle{ \det A = (-1)^{p} \Delta_k \bar{\Delta }_{n-k}, }[/math] где $p=2(1+2+\cdots +k)=k(k+1)$ — четное число, поэтому $\det A=\Delta_k \bar{\Delta }_{n-k} $.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Конспект: Алгебра и геометрия