Линеал

Определение:

Линейным пространством (линеалом) называют множество $L$ элементов произвольной природы, называемых векторами, для которого:

• задано правило, по которому любым двум элементам $x \in L$, $y \in L$ сопоставляется элемент ${\rm {\bf s} } \in L$, называемый их суммой и обозначаемый ${\rm {\bf s} } = x + y$;
• задано правило, по которому каждому элементу $x \in L$ и любому вещественному числу $\lambda \in R$ сопоставляется элемент ${\rm {\bf p} } \in L$, называемый произведением $x$ на $\lambda $ и обозначаемый ${\rm {\bf p} } = \lambda x$;
• заданные правила при любых $x, y, z \in L$ и любых вещественных числах $\lambda , \mu \in R$ подчинены аксиомам:
• $ x + y = y + x$;
• $ (x + y) + z = x + (y + y)$;
• существует ${\bf 0} \in L$, что $x + {\bf 0} = x$;
• для каждого $x \in L$ существует $x' \in L$, что $x + x' = {\bf 0}$;
• $\lambda (\mu x) = (\lambda \mu )x$;
• $(\lambda + \mu )x = \lambda x + \mu x$;
• $\lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y$;
• $ 1 \cdot x = x$.

Следует отметить, что в приведенном определении не накладывается никаких ограничений на природу элементов множества $L$ и конкретное задание правил операций суммы $(x,y) \to x + {\rm {\bf y} }$ и умножения на число $(\lambda ,x) \to \lambda {\rm {\bf x} }$.

Рис. 1. Линеал задаётся множеством [math]\displaystyle{ L }[/math] и двумя операциями, результат которых снова лежит в [math]\displaystyle{ L }[/math], а не природой элементов. Справа восемь аксиом, разбитых на четыре аксиомы сложения и четыре — умножения на число.

Для задания конкретного линеала надо определить множество $L$ и задать на нем операции сложения элементов и умножения элемента на число.

Если в качестве векторов рассматривать направленные отрезки и традиционные линейные операции, то линеалом $V^1$ является множество всех свободных векторов на прямой. Линеал $V^2$ — множество всех свободных векторов на плоскости. Линеал $V^3$ — множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве.

Линеал $\Theta = \{{\bf 0}\}$, состоящий только из нулевого элемента ${\bf 0}$, является простейшим.

Другим примером является линеал $R^n = \{ {\bf a} \vert {\bf a} = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)\}$ — множество упорядоченных наборов $n$ вещественных чисел, где $n$ — произвольное число, причем линейные операции вводятся так: [math]\displaystyle{ {\bf a} + {\bf b} = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n ) + (\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n ) = (\alpha_1 + \beta_1, \alpha_2 + \beta_2, ..., \alpha_n + \beta_n ), }[/math]

[math]\displaystyle{ \lambda (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n ) = (\lambda \alpha_1, \lambda \alpha_2, ..., \lambda \alpha_n ). }[/math]

Указанный линеал $R^n = \{ {\bf a}\vert {\bf a} = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n ) \}$ иногда называют координатным пространством.

Множество всевозможных матриц фиксированного размера с введенными на этом множестве операциями является линейным пространством.

Отметим, что все линеалы, за исключением простейшего линеала $\Theta$, имеют бесконечное количество элементов. Поскольку элементами линеалов являются векторы, то линейные пространства называют векторными пространствами.

В дальнейшем, во избежание недоразумений, где это необходимо, векторы пространств $V^1$, $V^2$, $V^3$ будем называть геометрическими векторами и выделять стрелкой $\vec{a}, \overrightarrow{AB}$ и т. д.

Рис. 2. Одни и те же аксиомы выполняются на совершенно разных множествах: геометрические векторы [math]\displaystyle{ V^1, V^2, V^3 }[/math], нулевой линеал [math]\displaystyle{ \Theta }[/math], наборы чисел [math]\displaystyle{ R^n }[/math], матрицы, непрерывные функции. В последнем столбце — размерность.

---

Конспект: Алгебра и геометрия