Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве

Теорема:

Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство:

Необходимость. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ линейно зависимы, следовательно, $\lambda _1 \vec{a} + \lambda _2 \vec{b}=\vec{0}$, причем хотя бы одно из чисел $\lambda_1, \lambda_2$ отлично от 0.

Допустим для определенности $\lambda _2 \ne 0$. Тогда $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ и $\vec{b} = - \frac{\lambda_1 }{\lambda_2 }\vec{a}$, т. е. векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Достаточность. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Будем считать, что среди них нет нулевого вектора, ибо в противном случае эти векторы будут линейно зависимы.

Если ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то вектор $\vec{b}$ представим в виде $\vec{b}=\lambda \vec{a}$. Тогда $\lambda \vec{a} + (- 1)\vec{b} = \vec{0}$, что и означает линейную зависимость векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Рис. 1. Слева [math]\displaystyle{ b = 2a }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ 2a - b = 0 }[/math] с ненулевыми коэффициентами. Справа неколлинеарные векторы: равенство [math]\displaystyle{ \lambda_1 a + \lambda_2 b = 0 }[/math] возможно только при [math]\displaystyle{ \lambda_1 = \lambda_2 = 0 }[/math].

Следствие:

Любые два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются линейно независимыми.

Теорема:

Три вектора в линейном пространстве $V^3$ являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство:

Необходимость. Пусть векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ линейно зависимы, следовательно, существуют такие вещественные числа $\alpha, \beta, \gamma$, что $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0}$, при этом хотя бы одно из них не равно нулю. Допустим для определенности, что $\gamma \ne 0$. Тогда [math]\displaystyle{ \frac{\alpha }{\gamma }\vec{a} + \frac{\beta }{\gamma }\vec{b} + \vec{c} = \vec{0} }[/math] или [math]\displaystyle{ \vec{c} = - \frac{\alpha }{\gamma }\vec{a} - \frac{\beta }{\gamma }\vec{b}. }[/math] Векторы $ - \frac{\alpha }{\gamma }\vec{a}$, $ - \frac{\beta }{\gamma }\vec{b}$ коллинеарны соответственно векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а их сумма, т. е. вектор $\vec{c}$, будет лежать в плоскости векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ компланарны.

Достаточность. Пусть векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ компланарны. Будем считать, что среди них нет ни одной пары коллинеарных, ибо в противном случае три данных вектора будут линейно зависимыми. Приведем векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ к общему началу $О$. Проведем через точку $С$ прямую $С\vec{a}$, параллельную вектору $\vec{a}$ и пересекающую прямую $О\vec{b}$ в точке $В$. Далее параллельно вектору $\vec{b}$ спроектируем точку $С$ на прямую $О\vec{a}$. Векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\vec{b}$, а также $\overrightarrow{OA}$ и $\vec{a}$ коллинеарны. Тогда $\overrightarrow{OA} = \alpha \vec{a}$, $\mathop {OB}\limits^ \to =\beta \vec{b}$. Однако $\vec{c} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$, откуда $\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + (-1)\vec{c} = \vec{0}$, что и означает линейную зависимость векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Рис. 2. Слева все три вектора лежат в плоскости [math]\displaystyle{ \Pi }[/math], причём [math]\displaystyle{ c = a + b }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ a + b - c = 0 }[/math]: тройка зависима. Справа [math]\displaystyle{ c }[/math] выходит из плоскости [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — такая тройка независима, а любой четвёртый вектор через неё раскладывается.

Следствие:

Если векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ некомпланарны, то они линейно независимы в $V^3$.

Следствие:

Каковы бы ни были два неколлинеарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ на плоскости, всякий третий вектор $\vec{c}$, лежащий в этой же плоскости, может быть разложен по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в виде $\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$.

Теорема:

Любые четыре вектора линейного пространства $V^3$ линейно зависимы.

Доказательство:

Пусть $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ — произвольные векторы в пространстве $V^3$. Будем считать, что среди этих векторов никакие три не являются компланарными, ибо в противном случае данные четыре вектора будут заведомо линейно зависимы. Приведем все векторы к общему началу $О$. Проведем через конец вектора $\vec{d}$ плоскости параллельные плоскостям, в которых лежат пары векторов $\vec{c}$ и $\vec{b}$, $\vec{a}$ и $\vec{c}$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно. Обозначим через $A, B, C$ соответственно точки пересечения указанных плоскостей с прямыми $О\vec{a}$, $О\vec{b}$, $О\vec{c}$. Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\vec{b}$, $\overrightarrow{OC}$ и $\vec{c}$ коллинеарны. Поэтому $\overrightarrow{OA} =\alpha \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \beta \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \gamma \vec{c}$. Однако $\vec{d} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$, откуда $\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} + (-1)\vec{d} = \vec{0}$, что и означает линейную зависимость векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Следствие:

Каковы бы ни были три некомпланарных вектора линейного пространства $V^3$, любой четвертый вектор из этого пространства может быть разложен по этим векторам.

---

Конспект: Алгебра и геометрия