Сочетания

Определение:

Сочетанием из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов по [math]\displaystyle{ k }[/math] называется неупорядоченная выборка без повторений объема [math]\displaystyle{ k }[/math] из [math]\displaystyle{ n }[/math]-элементного множества.

Не умаляя общности, можно называть сочетанием из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов по [math]\displaystyle{ k }[/math] неупорядоченный набор из [math]\displaystyle{ k }[/math] различных чисел, принадлежащих множеству [math]\displaystyle{ \{1, ..., n\} }[/math].

Количество различных сочетаний из [math]\displaystyle{ n }[/math] по [math]\displaystyle{ k }[/math] обозначают [math]\displaystyle{ C_n^k }[/math] или [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} }[/math].

Пример 1

Предположим, из [math]\displaystyle{ n }[/math] участников спортивного клуба на соревнования должны поехать какие-то [math]\displaystyle{ k }[/math]. Тогда имеется [math]\displaystyle{ C_n^k }[/math] различных возможности собрать команду.

Пример 2

Пусть [math]\displaystyle{ S = \{1,2,3\} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \{1,2\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{1,3\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{2,3\} }[/math] — все возможные cочетания из трех элементов по два.

Утверждение:

Пусть [math]\displaystyle{ k,n\in\mathbb{N} }[/math] и [math]\displaystyle{ 1 \leq k \leq n }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} }[/math].

Доказательство:

Действительно, каждому сочетанию из [math]\displaystyle{ n }[/math] по [math]\displaystyle{ k }[/math] соответствует [math]\displaystyle{ k! }[/math] различных размещений из [math]\displaystyle{ n }[/math] по [math]\displaystyle{ k }[/math] с различным порядком следования элементов. Тогда [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Свойства числа сочетаний

[math]\displaystyle{ \binom{n}{k}\cdot\binom{k}{l} = \binom{n}{l}\cdot \binom{n-l}{k-l}. }[/math]

Действительно, [math]\displaystyle{ \binom{n}{k}\cdot\binom{k}{l}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{k!}{l!(k-l)!} \cdot \frac{(n-l)!}{(n-l)!}= \frac{n!}{l!(n-l)!}\cdot\frac{(n-l)!}{(k-l)!(n-k)!} = \binom{n}{l}\cdot \binom{n-l}{k-l}. }[/math]

Интуитивно формулу можно описать как разбиение множества из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов на три подмножества мощностей [math]\displaystyle{ l }[/math], [math]\displaystyle{ k-l }[/math], [math]\displaystyle{ n-k }[/math] соответственно. Левая часть равенства описывает выбор сначала [math]\displaystyle{ k }[/math] элементов из [math]\displaystyle{ n }[/math], а затем [math]\displaystyle{ l }[/math] элементов из выбранных [math]\displaystyle{ k }[/math]. Получим все варианты разбиения исходного множества на три подмножества указанных мощностей.

Правая часть равенства соответствует выбору сначала [math]\displaystyle{ l }[/math] элементов из [math]\displaystyle{ n }[/math], а затем [math]\displaystyle{ k-l }[/math] элементов из оставшихся [math]\displaystyle{ n-l }[/math]. Получим те же варианты подмножеств.

Алгоритм перебора сочетаний

Пусть [math]\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_k }[/math] — числа из множества [math]\displaystyle{ \{1,2,...,n\} }[/math], вошедшие в сочетание, причем [math]\displaystyle{ x_1 \lt x_2 \lt ... \lt x_k }[/math].

Пусть в начальный момент времени сочетание состоит из первых [math]\displaystyle{ k }[/math] чисел: [math]\displaystyle{ x_i = i, i=\overline{1,k} }[/math].

На каждом шаге будем просматривать вектор [math]\displaystyle{ (x_1, x_2, ..., x_k) }[/math], начиная с [math]\displaystyle{ x_k }[/math], и искать первую такую компоненту [math]\displaystyle{ x_i }[/math], которую можно увеличить (нельзя увеличить [math]\displaystyle{ x_k }[/math], если он равен [math]\displaystyle{ n }[/math]; [math]\displaystyle{ x_{k-1} }[/math], если он равен [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] и так далее).

Если такой компоненты не найдется, алгоритм завершает свою работу. В противном случае, пусть [math]\displaystyle{ i }[/math] — такое наибольшее число, что [math]\displaystyle{ x_i \lt n-k+i }[/math]. Увеличим [math]\displaystyle{ x_i }[/math] на единицу, а для всех [math]\displaystyle{ x_t, t=\overline{i+1,k} }[/math], присваиваем значения [math]\displaystyle{ x_t = x_i+(t-i) }[/math]. Повторяем процесс нужное число раз.

Пример

Пример 1

Рассмотрим, как работает алгоритм для [math]\displaystyle{ n=5 }[/math] и [math]\displaystyle{ k=3 }[/math].

1. Сначала [math]\displaystyle{ x = (x_1, x_2, x_3) = (1,2,3) }[/math].
2. Увеличиваем [math]\displaystyle{ x_3 }[/math]: [math]\displaystyle{ x = (1,2,4) }[/math].
3. Увеличиваем [math]\displaystyle{ x_3 }[/math]: [math]\displaystyle{ x = (1,2,5) }[/math].
4. [math]\displaystyle{ x_3 }[/math] больше увеличить нельзя. Увеличиваем [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] и переназначаем значение [math]\displaystyle{ x_3 }[/math]: [math]\displaystyle{ x = (1,3,4) }[/math].
5. [math]\displaystyle{ x = (1,3,5) }[/math]
6. [math]\displaystyle{ x = (1,4,5) }[/math]
7. [math]\displaystyle{ x = (2,3,4) }[/math]
8. [math]\displaystyle{ x = (2,3,5) }[/math]
9. [math]\displaystyle{ x = (2,4,5) }[/math]
10. [math]\displaystyle{ x = (3,4,5) }[/math]

Таким образом, мы перебрали все сочетания из 5 по 3.