Изоморфизм линеалов

Определение:

Соответствие между элементами двух линеалов $L$ и $M$ называется взаимно однозначным, если каждому элементу из $L$ отвечает единственный элемент из $M$, причем каждый элемент из $M$ отвечает одному лишь элементу из $L$.

Определение:

Два линеала $L$ и $M$ называются изоморфными (обозначение $L \approx M$), если между элементами этих линеалов можно установить такое взаимно однозначное соответствие

[math]\displaystyle{ \varphi :x \in L\buildrel \varphi \over \longrightarrow \varphi (x) \in M, }[/math] что $\varphi (\lambda x) = \lambda \varphi (x)$, $\varphi (x + y) = \varphi (x) + \varphi (y)$, где $x,y \in L$; $\lambda $ — любое вещественное число.

Указанное отображение $\varphi :L \to M$ называют линейным изоморфизмом.

Рис. 1. Вектор [math]\displaystyle{ x = 2e_1 + 3e_2 }[/math] линеала [math]\displaystyle{ L }[/math] переходит в набор своих координат [math]\displaystyle{ (2; 3) \in R^2 }[/math]. Отображение [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] сохраняет сложение и умножение на число, поэтому является изоморфизмом.

Теорема:

Все линеалы одной и той же размерности изоморфны.

Доказательство:

Пусть линеалы $L$ и $M$ являются $n$-мерными. Выберем в $L$ некоторый базис ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, а в $M$ — базис ${\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_n .$ Сопоставим элементу $x = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } e_i \in L$ элемент [math]\displaystyle{ \varphi (x) = \varphi \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } {\rm {\bf e} }_i } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } {\rm {\bf {e}'} }_i \in M, }[/math] т. е. вектор, имеющий те же координаты, что и вектор $x$, но относительно базиса ${\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_n .$

В силу единственности разложения элемента по базису установленное соответствие $\varphi $ является взаимно однозначным. Кроме того, [math]\displaystyle{ \varphi (x + y) = \varphi \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {(x_i + y_i ){\bf e}_i } } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {(x_i + y_i ){\rm {\bf {e}'} }_i } = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i {\rm {\bf {e}'} }_i } + \sum\limits_{i = 1}^n {y_i {\rm {\bf {e}'} }_i } = \varphi ({\rm {\bf x} }) + \varphi (y), }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi (\alpha x) = \varphi \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {(\alpha x_i ){\bf e}_i } } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {(\alpha x_i ){\rm {\bf {e}'} }_i } = \alpha \sum\limits_{i = 1}^n {x_i {\rm {\bf {e}'} }_i } = \alpha \varphi (x). }[/math]

Таким образом, линеалы $L$ и $M$ являются изоморфными, а построенное отображение называется координатным изоморфизмом.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Заметим, что координатный изоморфизм зависит от выбора базисов в $L$ и $M$.

Следствие:

Любое $n$-мерное линейное пространство $L$ изоморфно координатному пространству $R^n$.

Отметим, что при координатном изоморфизме любому элементу $x \in L$, представимому через базис ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\rm {\bf e} }_n $ в виде $x = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } {\rm {\bf e} }_i $, сопоставляется упорядоченный набор чисел $(x_1, x_2, ..., x_n ) \in R^n$, компоненты которого суть координаты элемента $x \in L$ относительно фиксированного базиса.

Теорема:

Изоморфные линеалы имеют одну и ту же размерность.

Доказательство:

Пусть $n$-мерный линеал $L$ изоморфен линейному пространству $M $при линейном изоморфизме $\varphi $. Убедимся, что нулевому элементу ${\rm {\bf 0} } \in L$ соответствует нулевой элемент $\varphi ({\bf 0}) \in M.$

Действительно, для любого элемента $x \in L$ имеем равенство $x + {\bf 0} = x$ и потому $\varphi ({\rm {\bf x} } + {\bf 0}) = \varphi (x)$. В силу свойств линейного изоморфизма $\varphi (x + {\bf 0}) = \varphi ({\rm {\bf x} }) + \varphi ({\bf 0})$. Сравнивая последние равенства, получаем $\varphi (x) + \varphi ({\bf 0}) = \varphi (x)$, откуда следует, что $\varphi $(\textbf{0}) есть нулевой элемент в $M$.

Пусть ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ произвольный базис в$ L$, а $\varphi ({\bf e}_1 ), \varphi ({\rm {\bf e} }_2 ),..., \varphi ({\bf e}_n )$ — образы базисных векторов в $M$ при линейном изоморфизме $\varphi $. Составим в $M$ линейную комбинацию [math]\displaystyle{ \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i \varphi (e_i )} = \varphi ({\bf 0}). }[/math]

В силу свойств линейного изоморфизма $\varphi $ и взаимно однозначного соответствия нулевых элементов линеалов $L$ и $M $имеем соотношение $\sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i } e_i = {\bf 0}$. Откуда, вследствие линейной независимости элементов ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\rm {\bf e} }_n $ получаем $\alpha _i = 0, i = \overline {1,n} $. Но тогда следует, что элементы $\varphi ({\bf e}_i )$, $i = \overline {1,n} $ из $M $линейно независимы.

Таким образом, размерность $M$ не менее $n$. Если предположить, что размерность $\dim (M) > n$, то при обратном взаимно однозначном соответствии $\varphi ^{-1}: M \to L$ окажется, что $\dim (L) > n$. Полученное противоречие показывает, что $\dim (M) = n$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Рис. 2. Внутри каждого класса одинаковой размерности все линеалы изоморфны: [math]\displaystyle{ V^1 \approx R^1 }[/math], [math]\displaystyle{ V^2 \approx R^2 }[/math], [math]\displaystyle{ V^3 \approx R^3 }[/math]. Бесконечномерные пространства образуют отдельный класс. Поэтому [math]\displaystyle{ L \approx M \iff \dim L = \dim M }[/math].

Следствие:

Конечномерные линеалы разных размерностей неизоморфны.

Следствие:

Бесконечномерный линеал неизоморфен никакому конечномерному линеалу.

Итак, существенной характеристикой конечномерного линеала является его размерность. Линеалы, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. Свойства линеалов, выраженные в терминах алгебраических операций сложения и умножения на вещественное число, у изоморфных линеалов одинаковые. Поэтому с алгебраической точки зрения изоморфные линеалы тождественны. На этом факте основывается, в сущности, и метод координат, на котором базируется аналитическая геометрия.

Вследствие теоремы все $n$-мерные линейные пространства изоморфны координатному линеалу $R^n$. Таким образом, в теории $n$-мерных линейных пространств, не теряя общности, можно ограничиться изучением линеала $R^n$, поскольку, очевидно, что с помощью обратного изоморфизма $\varphi ^{-1}:R^n\buildrel {\varphi ^{ - 1} } \over \longrightarrow L$ полученные в $R^n$ утверждения переносятся в исходный линеал $L$.

---

Конспект: Алгебра и геометрия