Эйлеровы интегралы

Бетта-функция

Определение:

Функция вида [math]\displaystyle{ B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx }[/math] называется Бетта-функцией или Эйлеровым интегралом первого рода.

Этот интеграл сходится при [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ b \gt 0 }[/math] (если [math]\displaystyle{ a \geq 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ b \geq 1 }[/math], то интеграл будет собственным, в противном случае, возникнет несобственность второго рода в точках [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] и/или [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]). Заметим, что подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный бином. Следовательно, согласно теореме Чебышева, если хотя бы одно из чисел [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ a+b }[/math] является целым, то "Бетта-функция" задается "берущимся" интегралом, и ее можно записать в явном виде с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Если ни одно из указанных чисел не целое, то рассматриваемый интеграл — "неберущийся".

Свойства Бетта-функции

• [math]\displaystyle{ B(a,b)=B(b,a) }[/math]
• если [math]\displaystyle{ b \gt 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ B(a,b)=\frac{b-1}{a+b-1}B(a,b-1) }[/math].

Применяя свойства, получаем, что если [math]\displaystyle{ b \gt n }[/math], [math]\displaystyle{ a \gt m }[/math] ([math]\displaystyle{ m,n\in\mathbb{N} }[/math]), то

[math]\displaystyle{ B(a,b)=\frac{b-1}{a+b-1}\ldots \frac{b-n}{a+b-n}B(a,b-n) }[/math],

[math]\displaystyle{ B(a,b)=\frac{a-1}{a+b-1}\ldots \frac{a-m}{a+b-m}B(a-m,b) }[/math].

Таким образом, без потери общности, Бетта-функцию достаточно рассматривать при значениях параметров [math]\displaystyle{ a\in(0,1] }[/math], [math]\displaystyle{ b\in(0,1] }[/math].

Гамма-функция

Определение:

Функция вида [math]\displaystyle{ \Gamma(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}e^{-x}\,dx }[/math] называется Гамма-функцией или Эйлеровым интегралом второго рода.

Этот интеграл сходится при [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math] (если [math]\displaystyle{ a \geq 1 }[/math], то имеется только несобственность первого рода, при [math]\displaystyle{ a \lt 1 }[/math] возникает еще несобственность второго рода в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]).

Свойства Гамма-функции

• [math]\displaystyle{ \Gamma^{(n)}(a)=\int_0^{+\infty}x^{a-1}\,\ln^{n}x\,e^{-x}\,dx }[/math]
• [math]\displaystyle{ \Gamma(a+1)=a\Gamma(a) }[/math] (как следствие, достаточно рассматривать "Гамма-функцию" при [math]\displaystyle{ a\in(0,1] }[/math], более того, используя данную рекуррентную формулу, можно доопределить

"Гамма-функцию" при [math]\displaystyle{ a \lt 0 }[/math])

• [math]\displaystyle{ \Gamma(n+1)=n! }[/math], [math]\displaystyle{ n=0,1,\ldots }[/math]
• существует [math]\displaystyle{ c\in(1,2) }[/math], такое что Гамма-функция убывает на интервале [math]\displaystyle{ (0,c] }[/math] и возрастает на интервале [math]\displaystyle{ [c,+\infty) }[/math], при этом

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{a\to+0}\Gamma(a)=+\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ \lim\limits_{a\to+\infty}\Gamma(a)=+\infty }[/math]

• [math]\displaystyle{ B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \Gamma(a)\Gamma(1-a)=\frac{\pi}{\sin a\pi} }[/math] при [math]\displaystyle{ a\in(0,1] }[/math] (формула дополнения)
• [math]\displaystyle{ \Gamma(a)\Gamma(a+\frac12)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2a-1}}\Gamma(2a) }[/math] при [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math] (формула Лежандра)