Аффинные пространства

Определение:

Аффинное пространство — это множество $A$ элементов произвольной природы, называемых точками, которому сопоставлены:

1) линеал $L$, называемый присоединенным к $A$;

2) соответствие, по которому любым двум точкам $A, B \in A$ отвечает некоторый элемент $AB \in L$ с началом в $A$ и с концом в $B$;

При этом выполняются следующие две аксиомы:

10. Для произвольной точки $A \in A$ и любого вектора ${\rm {\bf u} } \in L$ существует единственная точка $B \in A$ такая, что $AB = {\rm {\bf u} }$.

11. Для произвольных трех точек $А, В, С$ имеет место равенство $AB + BC = AC$.

Рис. 1. Аксиома 10: по точке [math]\displaystyle{ A }[/math] и вектору [math]\displaystyle{ u }[/math] точка [math]\displaystyle{ B }[/math] с [math]\displaystyle{ AB = u }[/math] находится однозначно. Аксиома 11: для любых точек [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ AB + BC = AC }[/math].

Размерность аффинного пространства $A$ совпадает с размерностью присоединенного с $A$ линеала $L$ и обозначается символом $dim(A)$. Если $dim(A) = n$, то аффинное пространство называют $n$-мерным и используют обозначение $A^{ n}$.

Приведем примеры аффинных пространств.

Рассмотрим трехмерное линейное пространство $V^3$. Фиксируем некоторую точку $О$ и будем рассматривать всевозможные радиус-векторы с началом в точке $О$. Под точками аффинного пространства $A^{ 3}$ с присоединенным линеалом $V^3$, будем понимать концы соответствующих радиус-векторов, причем двум точкам $А$ и $В$ сопоставляется вектор $\mathop {AB}\limits^ \to = \vec{r}_B - \vec{r}_A \in V^3$. Заметим, что при такой формализации мы отождествляем точку $А$ с радиусом-вектором.

Рис. 2. С фиксированным началом [math]\displaystyle{ O }[/math] каждая точка получает радиус-вектор: [math]\displaystyle{ A \mapsto r_A = OA }[/math], [math]\displaystyle{ B \mapsto r_B = OB }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ AB = r_B - r_A }[/math]: разность двух точек — вектор.

---

Конспект: Алгебра и геометрия