Базис и размерность линеала
если для каждого вектора $x \in L$ найдутся вещественные числа $\gamma_i$, $i = \overline {1,n}$, что
[math]\displaystyle{ x = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i {\bf e}_i}. }[/math]Последнее равенство называют разложением вектора $x$ по базису ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$.
На основании данного определения можно утверждать, что в векторном пространстве $V^1$ произвольный ненулевой вектор может быть взят в качестве базисного, в пространстве $V^2$ упорядоченная пара неколлинеарных векторов образует базис, а в $V^3$ упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис.
В пространстве $R^n$ векторы ${\bf u}_1 = (1,0,..., 0)$, ${\bf u}_2 = (0,1,..., 0)$, ..., ${\bf u}_n = (0,0,..., 1)$ образуют базис, поскольку они линейно независимы и любой вектор $x = (\gamma_1, \gamma_2, ..., \gamma_n ) \in R^n$ представим в виде ${\bf x} = \gamma_1 {\bf u}_1 + \gamma_2 {\bf u}_2 + ... + \gamma_n {\bf u}_n$.
Отметим, что в определении базиса порядок элементов существенен, так как, переставляя элементы базиса, мы получаем снова базис, но уже другой.
Допустим, что ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ — базис линеала $L$. Пусть для некоторого вектора $x$ наряду с разложением $x = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i {\bf e}_i}$ существует еще и другое разложение $x = \sum\limits_{i = 1}^n {\mu _i {\bf e}_i}$. Но тогда справедливо равенство ${\bf 0} = \sum\limits_{i = 1}^n {(\gamma _i - \mu _i ) {\bf e}_i}$. Базисные элементы ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n$ линейно независимы, поэтому для всех $i = \overline {1,n} $ имеем $\gamma_i = \mu_i$.
Пусть элементы ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ образуют базис в $L$, $x$ и ${\bf y}$ — произвольные элементы из $L$, $\lambda $ — произвольное вещественное число, ${\bf s} = x + y$, ${\bf p} = \lambda x$. Ясно, что $x = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i {\bf e}_i}$, $y = \sum\limits_{i = 1}^n {\mu _i e_i}$, ${\bf s} = \sum\limits_{i = 1}^n {\sigma _i e_i}$, ${\bf p} = \sum\limits_{i = 1}^n {\delta _i e_i}$. Используя аксиомы 1-8 линеала $L$, получаем [math]\displaystyle{ {\rm {\bf s} } = x + y = \sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i } e_i + \sum\limits_{i = 1}^n {\mu _i } e_i = \sum\limits_{i = 1}^n {(\gamma _i + \mu _i )} e_i, }[/math]
[math]\displaystyle{ {\rm {\bf p} } = \lambda x = \lambda \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\gamma _i } e_i } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\lambda \gamma _i } e_i . }[/math]
В силу единственности разложения по базису имеем $\sigma _i = \gamma _i + \mu _i $, $\delta _i = \lambda \gamma _i $, $i = \overline {1,n} $.
Возьмем произвольно векторы $y_k = (\alpha _{k1}, \alpha _{k2}, ..., \alpha _{kn} )$, $k = \overline {0,n} $. Поскольку ${\rm {\bf u} }_1 = (1,0,..., 0)$, ${\rm {\bf u} }_2 = (0,1,..., 0)$, ..., ${\rm {\bf u} }_n = (0,0,..., 1)$ образуют базис в пространстве $R^n$, то для любого $k = \overline {0,n} $ имеем $y_k = \alpha _{k1} {\rm {\bf u} }_1 + \alpha _{k2} {\rm {\bf u} }_2 + \cdots + \alpha _{kn} {\rm {\bf u} }_n $. Следовательно, в силу теоремы 3.5.3 произвольные $(n + 1)$ векторов из линеала $R^n$ линейно зависимы.
Пусть ${\bf e}_1, {\bf e}_2 ,..., {\bf e}_n $ базис линеала $L$, а [math]\displaystyle{ {\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_{n + 1} }[/math] другой базис этого же линеала. Так как [math]\displaystyle{ {\rm {\bf {e}'} }_i = \sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _j {\bf e}_j }, i = \overline {1,n + 1} }[/math], причем ${\bf e}_1, {\bf e}_2,..., {\bf e}_n $ линейно независимы. В силу теоремы [math]\displaystyle{ {\rm {\bf {e}'} }_1, {\rm {\bf {e}'} }_2, ..., {\rm {\bf {e}'} }_{n + 1} }[/math] — линейно зависимы. Полученное противоречие и доказывает следствие.
Число $n$ называют размерностью линеала $L$ и обозначают символом $\dim (L) = n$. Таким образом, размерность пространства — это наибольшее число его линейно независимых элементов. Если линеал $L$ является $n-$мерным и необходимо подчеркнуть его размерность, то обычно используют обозначение $L^n$. Ясно, что $\dim (V^1) = 1$, $\dim (V^2) = 2$, $\dim (V^3) = 3.$ Линеал $\Theta $, содержащий единственный нулевой элемент, является нуль-мерным.
Примером бесконечномерного линеала является линейное пространство непрерывных на заданном отрезке функций.
Необходимость. Если линеал является $n$-мерным, то в нем существует базис ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, состоящий из $n$ элементов. Произвольный вектор $x_j \in L$, $j = \overline {0,n} $ представим в виде линейной комбинации векторов ${\rm {\bf e} }_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, поэтому любая совокупность более чем $n$ элементов является линейно зависимой.
Достаточность. Пусть ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $ линейно независимые элементы. Возьмем произвольный вектор $x \in L$. По условию векторы ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $,$x$ линейно зависимы, т. е. существует нетривиальная линейная комбинация $\alpha _1 {\bf e}_1 + \alpha _2 {\bf e}_2 + ... + \alpha _n {\bf e}_n + \alpha x = {\bf 0}$, причем $\alpha \ne 0$. Но тогда x может быть разложен по ${\bf e}_1, {\bf e}_2, ..., {\bf e}_n $, т. е. эти элементы — базис линеала $L$. В $n$-мерном линеале $L$ всякий базис состоит из n упорядоченных линейно независимых элементов, при этом любой вектор линеала $L^n$ единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных элементов.
Это утверждение не вытекает из аксиом 1 — 8 линейного пространства. Поэтому следует сформулировать новую аксиому.
9. (аксиома размерности). Линейное пространство $L$ конечномерно и его размерность равна $n$. При выполнении этой аксиомы из аксиом 1-8 очевидно вытекает сформулированное утверждение.
Конспект: Алгебра и геометрия