Ранг матрицы
Пусть ${\bf a}_i \in R^n$ — произвольная $i-$я строка матрицы ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p ] = [p\times n]$. Каждая строка является элементом линеала $R^n$, поэтому если число строк в матрице $p > n$, то строки ${\bf a}_1, {\bf a}_2,..., {\bf a}_p $ линейно зависимы. С другой стороны, очевидно, что среди ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_p $ существует ровно $k \le n$ строк, являющихся линейно независимыми, по которым можно разложить остальные $(n - k)$ строк.
Аналогично, если матрица ${\rm {\bf S} } = [{\bf a}^1, {\rm {\bf a} }^2, ..., {\bf a}^n]$, где ${\bf a}^j \in R^p$, то в ней существует не более $p$ линейно независимых столбцов. Среди столбцов ${\bf a}^1, {\bf a}^2, ..., {\bf a}^n$ имеется ровно $m \le p$ линейно независимых, по которым можно разложить любой из остальных $p - m$ столбцов.
Проведем доказательство для строчечного базиса. Пусть ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_k $ и ${\rm {\bf c} }_1, {\rm {\bf c} }_2, ..., {\rm {\bf c} }_r $ два разных строчечных базиса одной и той же матрицы. Предположим, что $r > k$. Поскольку ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_k $ базис, то строки ${\rm {\bf c} }_j $, $j = \overline {1,r} $ можно разложить по этому базису, т. е. ${\rm {\bf c} }_j = \sum\limits_{i = 1}^k {\alpha _{ij} } {\bf a}_i $, $j = \overline {1,r} $. Так как ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\rm {\bf a} }_k $ линейно независимы, то в соответствии с теоремой 3.5.3 строки ${\rm {\bf c} }_1, {\rm {\bf c} }_2, ..., {\rm {\bf c} }_r $ линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает, что $k \ge r$. Аналогично показывается, что $k $не может быть больше$ r$, поэтому $k = r$.
Пусть дана прямоугольная матрица ${\bf a} = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ...., {\bf a}_m ] = [{\bf a}^1, {\bf a}^2,..., {\bf a}^n]$, ${\bf a}_i \in R^n, {\bf a}^j \in R^m$. Допустим, что строчечный ранг этой матрицы равен $k$. Без ограничения общности можно считать, что первые $k$ строк образуют базис, а любая другая строка матрицы ${\bf a}$ представима в виде их линейной комбинации, т. е. [math]\displaystyle{ {\bf a}_s = \sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _{si} {\bf a}_i }, \quad s = \overline {k + 1,m}. }[/math]
Из первых $k$ строк матрицы ${\bf a}$ построим вспомогательную матрицу ${\rm {\bf \tilde {A} } } = [{\rm {\bf \tilde {a} } }_1, {\rm {\bf \tilde {a} } }_2, ..., {\rm {\bf \tilde {a} } }_k ]$, где ${\rm {\bf \tilde {a} } }_i = {\bf a}_i $, $i = \overline {1,k} $. Пусть ${\rm {\bf \tilde {a} } }^j$ есть $j-$й столбец матрицы ${\rm {\bf \tilde {A} } } = [{\rm {\bf \tilde {a} } }^1,{\rm {\bf \tilde {a} } }^2,..., {\rm {\bf \tilde {a} } }^n]$.
Если ввести обозначение [math]\displaystyle{ {\rm {\bf b} } = \left( {{\begin{array}{c} {\beta _1 } \\ {\beta _2 } \\ \vdots \\ {\beta _n } \\ \end{array} } } \right) }[/math], то произведение ${\bf a}_j {\rm {\bf b} }$ определяет $j-$ю компоненту столбца $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\rm {\bf a} }^i} $. Из равенства $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\rm {\bf \tilde {a} } }^i = 0} $ следует, что первые $k$ компонент указанного столбца $\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _i {\bf a}^i} $ по построению матрицы ${\rm {\bf \tilde {A} } }$ равны нулю, т. е. ${\bf a}_i {\rm {\bf b} } = 0$, $i = \overline {1,k} $. Тогда для любого $s = \overline {k + 1,m} $ и имеем
[math]\displaystyle{ {\bf a}_s {\rm {\bf b} } = \left( {\sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _{si} {\bf a}_i } } \right){\rm {\bf b} } = \sum\limits_{i = 1}^k {\gamma _{si} ({\bf a}_i {\rm {\bf b} }) = 0} . }[/math]
Допустим, что столбцовый базис матрицы ${\rm {\bf \tilde {A} } } = [{\rm {\bf \tilde {a} } }_1, {\rm {\bf \tilde {a} } }_2, ..., {\rm {\bf \tilde {a} } }_k ]$ состоит из $r$ первых столбцов ${\rm {\bf \tilde {a} } }^1,{\rm {\bf \tilde {a } } }^2,..., {\rm {\bf \tilde {a} } }^r$. Так как ${\rm {\bf \tilde {a} } }^i \in R^k$, то $r \le k$. Столбцы ${\rm {\bf \tilde {a} } }^1,{\rm {\bf \tilde {a} } }^2,..., {\rm {\bf \tilde {a} } }^r$ образуют базис, поэтому для любого $s = \overline {r + 1,n} $ имеем ${\rm {\bf \tilde {a} } }^s = \sum\limits_{i = 1}^r {\beta _{si} {\rm {\bf \tilde {a} } }^i} $. Следовательно, справедливо равенство $\sum\limits_{i = 1}^r {\beta _{si} {\rm {\bf \tilde {a} } }^i} - {\rm {\bf \tilde {a} } }^s = 0$. Тогда в силу леммы 3.6.1 имеем $\sum\limits_{i = 1}^r {\beta _{si} {\rm {\bf a} }^i} - {\bf a}^s = 0$, отсюда следует, что ${\bf a}^1, {\rm {\bf a} }^2, ..., {\bf a}^r$ есть столбцовый базис матрицы ${\rm {\bf A} }$. Поскольку имеем неравенство $r \le k$, то столбцовый ранг не превосходит строчечный. Аналогичные рассуждения относительно строчечного базиса приводят к выводу, что $r \ge k$. Следовательно, строчечный ранг матрицы совпадает со столбцовым рангом.
Достаточность. Пусть $rank{\bf a} < n$, следовательно, строки матрицы ${\bf a}$ линейно зависимы. Поэтому в соответствии с теоремой из параграфа 3 главы 3, по крайней мере, одну из них можно разложить по оставшимся строкам. Без ограничения общности будем считать, что ${\bf a}_n = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\gamma _{ni} {\bf a}_i } $. Определитель $\det {\bf a}$ не изменяется, если к любой из его строк прибавить другую строку, умноженную на заданное число. Следовательно, [math]\displaystyle{ \det {\bf a} = \det [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\rm {\bf a} }_n ] = \det [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_n - \gamma _1 {\bf a}_1 - \cdots - \gamma _{n - 1} {\bf a}_{n - 1} ] = \det [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_{n - 1}, 0] = 0. }[/math]
Необходимость. Доказательство проведем методом математической индукции по числу $n$. При $n = 1$ имеем $\det {\bf a} = \alpha _{11} = 0$, т. е. ${\bf a}_1 = 0$ — линейно зависимая строка. Допустим, что теорема доказана для $n = k - 1$, докажем ее для случая $n = k$.
Пусть ${\bf a} = [{\bf a}_1, {\bf a}_2, ...., {\rm {\bf a} }_k ] = \left\{ {\alpha _{ij} } \right\}_{i,j = 1}^{k,k} $. Построим вспомогательные строки, считая $\alpha _{11} \ne 0$: [math]\displaystyle{ {\rm {\bf b} }_2 = {\bf a}_2 - \frac{\alpha _{21} }{\alpha _{11} }{\rm {\bf a} }_1 = (0,{\alpha }'_{22}, {\alpha }'_{23}, ..., {\alpha }'_{2k} ), ..., {\rm {\bf b} }_k = {\bf a}_k - \frac{\alpha _{k1} }{\alpha _{11} }{\rm {\bf a} }_1 = (0,{\alpha }'_{k2}, {\alpha }'_{k3}, ..., {\alpha }'_{kk} ). }[/math]
Тогда [math]\displaystyle{ \det {\bf a} = \det [{\bf a}_1, {\rm {\bf b} }_2, ..., {\rm {\bf b} }_k ] = \alpha _{11} \left| {{\begin{array}{*{20}c} {{\alpha }'_{22} } & {{\alpha }'_{23} ...} & {{\alpha }'_{2k} } \\ \vdots & { \vdots ...} & \vdots \\ {{\alpha }'_{k2} } & {{\alpha }'_{k3} ...} & {{\alpha }'_{kk} } \\ \end{array} } } \right| = 0, }[/math] следовательно, [math]\displaystyle{ \det {\rm {\bf \bar {A} } } = \left| {{\begin{array}{*{20}c} {{\alpha }'_{22} } & {{\alpha }'_{23} ...} & {{\alpha }'_{2k} } \\ \vdots & { \vdots ...} & \vdots \\ {{\alpha }'_{k2} } & {{\alpha }'_{k3} ...} & {{\alpha }'_{kk} } \\ \end{array} } } \right| = 0. }[/math]
По индукционному предположению $rank{\rm {\bf \bar {A} } } < k - 1$, т. е. строки $({\alpha }'_{22}, {\alpha }'_{23}, ..., {\alpha }'_{2k} )$, ..., $({\alpha }'_{k2}, {\alpha }'_{k3}, ..., {\alpha }'_{kk} )$ линейно зависимы. Но тогда линейно зависимыми являются ${\rm {\bf b} }_2, {\rm {\bf b} }_3, ..., {\rm {\bf b} }_k $, следовательно, существуют числа $\gamma _2, \gamma _3, ..., \gamma _k $ не равные нулю одновременно, что $\gamma _2 {\rm {\bf b} }_2 + \gamma _3 {\rm {\bf b} }_3 + ... + \gamma _k {\rm {\bf b} }_k = 0$. Поэтому справедливо соотношение [math]\displaystyle{ \left( { - \gamma _2 \frac{\alpha _{21} }{\alpha _{11} } - \cdots - \gamma _k \frac{\alpha _{k1} }{\alpha _{11} } } \right){\bf a}_1 + \gamma _2 {\bf a}_2 + \gamma _3 {\bf a}_3 + ... + \gamma _k {\rm {\bf a} }_k = 0, }[/math] отсюда следует линейная зависимость ${\bf a}_1, {\bf a}_2, ..., {\bf a}_k $, т. е. $rank[{\bf a}_1, {\bf a}_2,..., {\bf a}_k ] < k$.
Допустим, что $rank{\bf a} = k$. Тогда в матрице ${\bf a}$ существует ровно $k$ линейно независимых строк, образующих строчечный базис, и $k$ линейно независимых столбцов, составляющих столбцовый базис. Поэтому минор $k-$го порядка, построенный на указанных строках и столбцах, очевидно, не равен нулю. При этом все миноры порядка $k + 1$ и выше (если таковые имеются) будут равны нулю, как содержащие линейно зависимые строки и линейно зависимые столбцы.
Пусть даны произвольные матрицы ${\bf a} = [{\bf a}_1, ..., {\bf a}_m ] = [{\bf a}^1, ..., {\rm {\bf a} }^n] = \{\alpha _{ij} \}_{i,j = 1}^{m,n} $, ${\rm {\bf B} } = [{\rm {\bf b} }_1, ..., {\rm {\bf b} }_n ] = [{\rm {\bf b} }^1,..., {\rm {\bf b} }^r] = \{\beta _{jk} \}_{j,k = 1}^{n,r} $. Тогда произведение [math]\displaystyle{ {\rm {\bf AB} } = [{\rm {\bf Ab} }^1,..., {\rm {\bf Ab} }^r] = \left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\beta _{i1} {\bf a}^i,..., } \sum\limits_{i = 1}^n {\beta _{ir} {\bf a}^i} } \right], }[/math] следовательно, каждый столбец произведения есть линейная комбинация столбцов матрицы ${\bf a}$, поэтому $rank({\rm {\bf AB} }) \le rank{\rm {\bf A} }$. Аналогично, имеем [math]\displaystyle{ {\rm {\bf AB} } = [{\bf a}_1 {\rm {\bf B} },..., {\bf a}_m {\rm {\bf B} }] = \left[ {\sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _{1j} {\rm {\bf b} }_j, ..., \sum\limits_{j = 1}^n {\alpha _{mj} {\rm {\bf b} }_j } } } \right], }[/math] отсюда каждая строка произведения равна линейной комбинации строк матрицы ${\rm {\bf B} }$, т. е. $rank({\rm {\bf AB} }) \le rank{\rm {\bf B} }$.
Если матрица ${\rm {\bf C} } = {\rm {\bf AB} }$, то в силу леммы 3.6.2 $rank{\rm {\bf C} } \le rank{\bf a}$. Так как матрица ${\rm {\bf B} }$ по условию является невырожденной, то существует обратная матрица ${\rm {\bf B} }^{ - 1}$. Умножим матрицу ${\rm {\bf C} }$ справа на ${\rm {\bf B} }^{ - 1}$, получаем ${\rm {\bf CB} }^{ - 1} = {\rm {\bf ABB} }^{ - 1} = {\rm {\bf AE} } = {\bf a}$, следовательно, $rank{\rm {\bf C} } \ge rank{\bf a}$. Таким образом, справедливо равенство $rank{\rm {\bf C} } = rank{\bf a}$.
Конспект: Алгебра и геометрия