Просмотр кода страницы Определитель произведения двух матриц

Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$. 

Введем вспомогательную квадратную матрицу
\begin{equation}
G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right.
\end{equation}
в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$). 

В соответствии с формулой умножения матриц: 
\begin{equation}
G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1},  a_{j},  {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n].
\end{equation}

Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ &#8212;  произвольное число, а $Е$ &#8212;  единичная матрица. 
Тогда 
\begin{equation}
(E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ].
\end{equation} 

Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.

Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то
\begin{equation}
AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1},  a^{i},  {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ],
\end{equation}
и тогда 
\begin{equation}
A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ],
\end{equation} 
то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.

Матрица $E+\gamma G_{ij}$ называется ''матрицей элементарного преобразования''.

Обобщением матрицы элементарного преобразования является понятие унитреугольной матрицы.

{{Определение
|definition=
Правой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_R =\left(\begin{array}{ccccc} 
1 &  \gamma_{12}  & ... & \gamma_{1,n-1}  & \gamma_{1n}  \\ 
0 &  1 & ... & \gamma_{2,n-1} & \gamma_{2n} \\ 
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \vdots & \vdots  \\ 
0 &  0 & ... & 1 & \gamma_{n-1,n} \\ 
0 &  0 & ... & 0 & 1 
\end{array}\right)
\end{equation}

{{Определение
|definition=
Левой унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.
}}

\begin{equation}
U_L =\left(\begin{array}{ccccc} 
1 & 0  & ... & 0 & 0 \\ 
\gamma_{21}  &  1 & ... & 0 & 0 \\ 
\vdots  & \vdots & \vdots  & \vdots & \vdots \\ 
\gamma_{n-1,1} &  \gamma_{n-1,2}  & ... & 1 & 0 \\ 
\gamma_{n1}  &   \gamma_{n2} &  ... & \gamma_{n,n-1}  & 1
\end{array}\right).
\end{equation}

Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем
$U_R A = [a_1 +\gamma_{12} a_2 +\cdots +\gamma_{1n} a_n, a_2 +\gamma_{23} a_3 +\cdots +\gamma_{2n} a_n, ..., a_n ],$ 
а при умножении слева на матрицу $U_l$, имеем
$U_L A = [a_1, \gamma_{21} a_1 +a_2, ..., \gamma_{n1} a_1 +\gamma_{n2} a_2 +\cdots + a_n ].$

В силу свойств определителей, очевидно, что $\det (U_R A)=\det (U_L A)=\det A$.

{{Теорема
|statement=
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей.
|proof=
Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.

Для этого построим вспомогательную матрицу $[2n\times 2n]$: 
$
C = \left(\begin{array}{cc} {A} & {\bf 0} \\  {-E} & {B} \end{array}\right).
$

Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу
$U_{R} =\left(\begin{array}{cc} {E} & {A} \\ {\bf 0} & {E} \end{array}\right).$ 

В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем
\begin{equation}
U_{R} C = \left(
\begin{array}{cc}{E} & {A} \\  {\bf 0} & {E} 
\end{array} \right)
\left( 
\begin{array}{cc} {A} & {\bf 0} \\ {-E} & {B} 
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{cc} {\bf 0} & {AB} \\ {-E} & {B} 
\end{array}
\right).
\end{equation} 

Поскольку
\begin{equation}
\det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{cc} {\bf 0} & {AB} \\  {-E} & {B} \end{array}\right)
=(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} & {\bf 0} \\ {B} & {-E} \end{array}\right)
=(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} & {\bf 0} \\ {B} & {E} \end{array}\right)
=\det (AB)\det E=\det (AB),
\end{equation}
следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.
}}