Определитель произведения двух матриц
Пусть дана квадратная матрица $A=[a_1, a_2, ..., a_n ] = [a^{1}, a^{2}, ..., a^{n}]$.
Введем вспомогательную квадратную матрицу \begin{equation} G_{ij} =\{ \gamma_{ks} \}_{k,s=1}^{n,n} =[n\times n],\, \, \gamma_{ks} =\left[\begin{array}{l} {0,\, \, k\ne i,\, s\ne j,} \\ {1,\, \, k=i,\, s=j,} \end{array}\right. \end{equation} в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в $i$-й строке и $j$-м столбце ($i\ne j$).
В соответствии с формулой умножения матриц: \begin{equation} G_{ij} A = G_{ij} [a_1, a_2, ..., a_n ]=[{\bf 0}_1, ..., {\bf 0}_{i-1}, a_{j}, {\bf 0}_{i+1}, ..., {\bf 0}_n]. \end{equation}
Построим матрицу $E+\gamma G_{ij}$, где $\gamma$ — произвольное число, а $Е$ — единичная матрица. Тогда \begin{equation} (E+\gamma G_{ij} )A = A+\gamma G_{ij} A=[a_1, ..., a_{i-1}, a_{i} +\gamma a_{j}, a_{i+1}, ..., a_n ]. \end{equation}
Следовательно, умножение матрицы $A$ слева на матрицу $E+\gamma G_{ij} $ эквивалентно прибавлению к $i$-й строке матрицы $A$ ее строки с номером $j$, умноженной на число $\gamma$.
Когда матрица $A$ умножается справа на матрицу $G_{ij}$, то \begin{equation} AG_{ij} =[a^{1}, a^{2}, ..., a^{n} ]G_{ij} =[{\bf 0}^{1}, ..., {\bf 0}^{j-1}, a^{i}, {\bf 0}^{j+1}, ..., {\bf 0}^{n} ], \end{equation} и тогда \begin{equation} A(E+\gamma G_{ij} ) = A+\gamma AG_{ij} =[a^{1}, ..., a^{j-1}, a^{j} +\gamma a^{i}, a^{j+1}, ..., a^{n} ], \end{equation} то есть это действие эквивалентно прибавлению к $j$-му столбцу матрицы $A$ ее столбца с номером $i$, предварительно умноженному на число $\gamma$.
Матрица $E+\gamma G_{ij}$ называется матрицей элементарного преобразования.
Обобщением матрицы элементарного преобразования является понятие унитреугольной матрицы.
\begin{equation}
U_R =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & \gamma_{12} & ... & \gamma_{1,n-1} & \gamma_{1n} \\
0 & 1 & ... & \gamma_{2,n-1} & \gamma_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & ... & 1 & \gamma_{n-1,n} \\
0 & 0 & ... & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
U_L =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & ... & 0 & 0 \\
\gamma_{21} & 1 & ... & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\gamma_{n-1,1} & \gamma_{n-1,2} & ... & 1 & 0 \\
\gamma_{n1} & \gamma_{n2} & ... & \gamma_{n,n-1} & 1
\end{array}\right).
\end{equation}
Умножая произвольную матрицу $A=[a_1, a_2, ..., a_n ]$ слева на матрицу $U_{R}$, получаем $U_R A = [a_1 +\gamma_{12} a_2 +\cdots +\gamma_{1n} a_n, a_2 +\gamma_{23} a_3 +\cdots +\gamma_{2n} a_n, ..., a_n ],$ а при умножении слева на матрицу $U_l$, имеем $U_L A = [a_1, \gamma_{21} a_1 +a_2, ..., \gamma_{n1} a_1 +\gamma_{n2} a_2 +\cdots + a_n ].$
В силу свойств определителей, очевидно, что $\det (U_R A)=\det (U_L A)=\det A$.
Возьмем две произвольные квадратные матрицы $A$ и $B$ размера $[n\times n]$. Докажем, что $\det (AB)=\det A\det B$.
Для этого построим вспомогательную матрицу $[2n\times 2n]$: $ C = \left(\begin{array}{cc} {A} & {\bf 0} \\ {-E} & {B} \end{array}\right). $
Матрица $C$ является ступенчатой и ее определитель равен произведению определителей диагональных блоков, то есть $\det C=\det A\det B$. Построим правую унитреугольную матрицу $U_{R} =\left(\begin{array}{cc} {E} & {A} \\ {\bf 0} & {E} \end{array}\right).$
В силу свойств унитреугольных матриц $\det (U_{R} C)=\det C$. Умножая блочные матрицы, имеем \begin{equation} U_{R} C = \left( \begin{array}{cc}{E} & {A} \\ {\bf 0} & {E} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} {A} & {\bf 0} \\ {-E} & {B} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} {\bf 0} & {AB} \\ {-E} & {B} \end{array} \right). \end{equation}
Поскольку \begin{equation} \det C = \det (U_{R} C) = \det \left(\begin{array}{cc} {\bf 0} & {AB} \\ {-E} & {B} \end{array}\right) =(-1)^{n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} & {\bf 0} \\ {B} & {-E} \end{array}\right) =(-1)^{2n} \det \left(\begin{array}{cc} {AB} & {\bf 0} \\ {B} & {E} \end{array}\right) =\det (AB)\det E=\det (AB), \end{equation} следовательно, окончательно получаем, что $\det C=\det A\det B=\det (AB)$.