Просмотр кода страницы Функции нескольких переменных. Предел функции

Пусть задана область <math>D\subset R^n</math>. Пусть каждой точке <math>{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T\in D</math> поставлено в соответствие однозначным образом вещественное число <math>f({\bf x})=f(x_1,\ldots,x_n)</math>. 
Тогда говорят, что определена скалярная вещественная функция нескольких переменных. Область <math>D</math> назовем областью определения функции <math>f({\bf x})</math>.

Функция одной переменной <math>y=f(x)</math> задает кривую на плоскости. Функция двух переменных <math>y=f(x_1,x_2)</math> задает двумерную поверхность в трехмерном пространстве, и т.д.

{{Пример
|content=
Рассмотрим функцию <math>y=f(x_1,x_2)=\frac{\ln(x_1x_2)}{x_1^2+x_2^2}.</math>
Областью определения этой функции является множество <math>D=\{{\bf x}=(x_1,x_2)^T\in R^2:\ x_1x_2 \gt 0\}.</math>
Задавая различные значения двумерной переменной <math>{\bf x}\in D</math>, будем получать различные значения функции. 
При этом точка <math>(x_1,x_2,y)^T</math> будет пробегать по некоторой поверхности.
Пусть, например, <math>x_1=1</math>, <math>x_2=2</math>. 
В этой точке функция принимает значение <math>y=f(1,2)=(\ln2)/5</math>.
}}

{{Определение
|definition= Величина <math>\hbox{ diam} D=\sup_{{\bf x}^{(1)},{\bf x}^{(2)}\in D}\rho({\bf x}^{(1)},{\bf x}^{(2)}) </math>
называется диаметром области <math>D</math>. Если <math>\hbox{diam } D \lt +\infty</math>, то область <math>D</math> называется ограниченной.
}}

{{Определение
|definition= Область <math>D</math> называется связной, если любые две точки этой области можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этой области.
}}

{{Определение
|definition= Пусть <math>{\bf a}</math> &#8212; предельная точка области <math>D\subset R^n</math>. Число <math>g</math> называется пределом функции <math>f({\bf x})</math> в точке <math>{\bf a}</math> (предела функции по Гейне):
<math>
g=\lim\limits_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x}), \tag{1}
</math>
если для любой последовательности точек <math>\big\{{\bf x}^{(k)}\big\}</math> из области <math>D</math>, таких что <math>{\bf x}^{(k)}\to{\bf a}</math>
при <math>k\to+\infty</math>, выполняется условие <math>f({\bf x}^{(k)})\to g</math> при <math>k\to+\infty</math>.
}}

Таким образом, как и в одномерном случае, определение предела функции сводится к понятию предела последовательности. Смысл определения предела: вдоль любого пути в области
задания функции, ведущего к предельной точке, значение функции должно стремиться к одному и тому же числу. В одномерном случае мы могли приближаться к предельной точке на 
вещественной прямой слева и справа (вводились лево и правосторонние пределы). В многомерном случае (на плоскости, в трехмерном пространстве, и т.д.) мы можем приближаться к предельной
точке как угодно (по прямой, по спирали, и т.д.).

Пусть <math>{\bf a}=(a_1,\ldots,a_n)^T</math>, <math>{\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})^T</math>. 

Зафиксируем переменные <math>x_2,\ldots,x_n</math>, а переменную <math>x_1</math> устремим к <math>a_1</math>. Рассмотрим одномерный предел
<math>f^{(1)}(x_2,\ldots,x_n)=\lim_{x_1\to a_1}f(x_1,x_2,\ldots,x_n).</math>
После этого, оставляя фиксированными переменные <math>x_3,\ldots,x_n</math>, устремим переменную <math>x_2</math> к <math>a_2</math>, и т.д. В результате придем к так называемому повторному пределу
<math>\lim_{x_n\to a_n}\ldots\lim_{x_1\to a_1}f(x_1,\ldots,x_n).</math>
Если фиксировать переменные в другом порядке, получим другой повторный предел. Всего, очевидно, можно построить <math>n!</math> повторных пределов. Так, если <math>n=2</math>, то будет два
повторных предела
<math>\lim_{x_1\to a_1} \lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2),\quad \lim_{x_2\to a_2} \lim_{x_1\to a_1}f(x_1,x_2).</math>

Повторный предел состоит из нескольких одномерных пределов (каждый раз ищем предел только по одной из переменных). Нетрудно доказать, что если существует многомерный предел
и какой-то из повторных пределов, то они равны между собой (т.е. вычисление многомерного предела можно свести к вычислению нескольких одномерных пределов).

{{Пример
|content= Имеем <math>\lim_{(x_1,x_2)^T\to(0,0)^T}(x_1^2+x_2^2)=\lim_{x_1\to0} \lim_{x_2\to0}(x_1^2+x_2^2)=\lim_{x_1\to0}x_1^2=0.</math>
}}

Однако, существование многомерного предела не гарантирует существование повторного предела, и наоборот. 


{{Пример
|content= Пусть <math>{\bf a}=(0,0)^T</math>, <math>f(x_1,x_2)=\frac{x_1x_2}{x_1^2+x_2^2}.</math>

Оба повторных предела здесь существуют
<math>
\lim_{x_1\to 0} \lim_{x_2\to 0}f(x_1,x_2)=\lim_{x_2\to 0} \lim_{x_1\to 0}f(x_1,x_2)=0.
</math>

В то же время, многомерного предела
<math>
\lim_{(x_1,x_2)^T\to(0,0)^T}f(x_1,x_2)
</math>
здесь не будет. В самом деле, будем двигаться вдоль лучей, ведущих в начало координат:
<math>
x_1\to0,\quad x_2=kx_1 \to 0,
</math>
где коэффициент <math>k=\hbox{const}</math> задает наклон луча. На этих лучах имеем
<math>\lim_{x_1\to0}f(x_1,kx_1)=\frac{k}{k^2+1}.</math>
Этот предел существует, но зависит от выбора <math>k</math>, т.е. вдоль разных лучей, ведущих в предельную точку, значение функции стремится к разным значениям. Значит, многомерного предела нет.

Рассмотрим теперь функцию
<math>f(x_1,x_2)=\frac{x_1^2x_2}{x_1^4+x_2^2}.</math>
В качестве предельной точки снова возьмем <math>{\bf a}=(0,0)^T</math>. Аналогично получим, что соотношения для повторных пределов верны. Двигаясь вдоль лучей, находим, что предел
<math>\lim_{x_1\to0}f(x_1,kx_1)=\lim_{x_1\to0}\frac{kx_1}{x_1^2+k^2}=0</math> не зависит от выбора <math>k</math>. Однако, это еще не означает, что многомерный предел существует, поскольку в определении предела предполагается движение по любым путям, ведущим к предельной точке,
не обязательно по лучам. Будем, например, двигаться по параболам:
<math>x_1\to0,\quad x_2=kx_1^2\to0.</math>

Получим
<math>\lim_{x_1\to0}f(x_1,kx_1^2)=\frac{k}{k^2+1}.</math>
Снова имеем зависимость от выбора <math>k</math>, т.е. на каждой рассматриваемой параболе значение функции стремится к разным значениям. Значит, многомерного предела по-прежнему нет.
}}

{{Пример
|content= Рассмотрим теперь обратную ситуацию. Пусть <math>{\bf a}=(0,0)^T</math>, 
<math>f(x_1,x_2)=x_1\sin\frac1{x_2}+x_2\sin\frac1{x_1}.</math>

Учитывая предельное соотношение
<math>0\leq|f(x_1,x_2)|\leq|x_1|+|x_2|\to0\quad\hbox{при}\quad (x_1,x_2)^T\to(0,0)^T,</math>
получаем, что многомерный предел существует:
<math>\lim_{(x_1,x_2)^T\to(0,0)^T}f(x_1,x_2)=0.</math>

С другой стороны, ни одного из повторных пределов
<math>\lim_{x_1\to 0} \lim_{x_2\to 0}f(x_1,x_2),\quad\lim_{x_2\to 0} \lim_{x_1\to 0}f(x_1,x_2)</math>
здесь не будет.

Если, например, рассмотреть функцию
<math>f(x_1,x_2)=x_1+x_2\sin\frac1{x_1},</math>
то получим, что повторный предел
<math>\lim_{x_1\to 0} \lim_{x_2\to 0}f(x_1,x_2)=0</math>
здесь существует, а повторный предел
<math>\lim_{x_2\to 0} \lim_{x_1\to 0}f(x_1,x_2)</math>
нет.
}}

Таким образом, сводить многомерный предел к повторному можно, только убедившись в том, что оба они существуют.

Определение предела функции по Гейне удобно использовать в случаях, когда надо доказать, что предела нет. Для этого достаточно найти два пути, ведущих в предельную точку,
вдоль которых значение функции стремится к разным величинам, или один путь, вдоль которого значение функции вообще ни к чему не стремится. В тех случаях, когда предел существует,
часто бывает удобнее использовать другое определение предела функции.</p>

{{Определение
|definition= Пусть <math>{\bf a}</math> &#8212; предельная точка области <math>D\subset R^n</math>. Число <math>g</math> называется пределом функции <math>f({\bf x})</math> в точке <math>{\bf a}</math> (предел функции по Коши):
<math>g=\lim\limits_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})</math>, 
если для любого <math>\varepsilon \gt 0</math> можно указать <math>\delta \gt 0</math>, такое что для всех <math>{\bf x}\in D</math>, удовлетворяющих условию <math>\rho({\bf x},{\bf a}) \lt \delta</math>,
будет иметь место неравенство <math>|f({\bf x})-g| \lt \varepsilon</math>.}
}}

Будут верны те же теоремы, что и в одномерном случае.

{{Теорема 
|statement= Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.
}}

{{Теорема 
|about= критерий сходимости Коши
|statement= Для того, чтобы существовал конечный предел <math>\lim\limits_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})</math> необходимо и достаточно, чтобы
для любого <math>\varepsilon \gt 0</math> можно было указать <math>\delta \gt 0</math> так, чтобы для всех <math>{\bf x}^{(1)},{\bf x}^{(2)}\in D</math>, удовлетворяющих условиям 
<math>\rho({\bf x}^{(1)},{\bf a}) \lt \delta</math>, <math>\rho({\bf x}^{(2)},{\bf a}) \lt \delta</math>,
имело место неравенство <math>|f({\bf x}^{(1)})-f({\bf x}^{(2)})| \lt \varepsilon</math>.
}}

{{Теорема 
|about=арифметические свойства предела
|statement= Пусть существуют пределы
<math>\lim_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})=g,\quad \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}h({\bf x})=r</math>.

Тогда:
<math>\lim_{{\bf x}\to{\bf a}}(f({\bf x})\pm h({\bf x}))=g\pm r,\quad \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}(f({\bf x})h({\bf x}))=gr</math>,
а если <math>r\not=0</math>, то 
<math>\lim_{{\bf x}\to{\bf a}}\frac{f({\bf x})}{h({\bf x})}=\frac{g}{r}</math>.
}}

{{Определение
|definition= Пусть функция <math>y=f(x_1,\ldots,x_n)</math> определена в области <math>D\subset R^n</math>, а функции
<math>x_1=h_1(t_1,\ldots,t_m),\ldots, x_n=h_n(t_1,\ldots,t_m)</math>
определены в области <math>G\subset R^m</math>. Тогда функция
<math>y=f\left({\bf h}({\bf t})\right)=f\left(h_1(t_1,\ldots,t_m),\ldots,h_n(t_1,\ldots,t_m)\right)</math>
называется суперпозицией скалярной функции <math>f({\bf x})</math> и векторной функции <math>{\bf h}({\bf t})</math>, или иначе, сложной функцией. Здесь
<math>{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T</math>, <math>{\bf t}=(t_1,\ldots,t_m)^T</math>, <math>{\bf h}({\bf t})=(h_1({\bf t}),\ldots,h_n({\bf t}))^T</math>. 
}}

<p><strong>Пример. </strong>  Из функций <math>y=x_1x_3+x_2^2</math>, <math>x_1=\sqrt{t_1+t_2}</math>, <math>x_2=t_1t_2</math>, <math>x_3=\sin{t_1}</math> можно построить суперпозицию
<math>y=\sqrt{t_1+t_2}\sin{t_1}+t_1^2t_2^2</math>.
</p>

{{Теорема 
|about=о суперпозиции пределов
|statement= Пусть <math>{\bf b}=(b_1,\ldots,b_m)^T</math> &#8212; предельная точка области <math>G\in R^m</math>,
<math>{\bf a}=(a_1,\ldots,a_n)^T</math> &#8212; предельная точка области <math>D\in R^n</math>. Тогда если существуют пределы
<math>\lim_{{\bf t}\to{\bf b}}{\bf h}({\bf t})={\bf a},\quad \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})=g</math>,
то <math>\lim_{{\bf t}\to{\bf b}}f\left({\bf h}({\bf t})\right)=g</math>.
}}