Функции нескольких переменных. Предел функции

Пусть задана область [math]\displaystyle{ D\subset R^n }[/math]. Пусть каждой точке [math]\displaystyle{ {\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T\in D }[/math] поставлено в соответствие однозначным образом вещественное число [math]\displaystyle{ f({\bf x})=f(x_1,\ldots,x_n) }[/math]. Тогда говорят, что определена скалярная вещественная функция нескольких переменных. Область [math]\displaystyle{ D }[/math] назовем областью определения функции [math]\displaystyle{ f({\bf x}) }[/math].

Функция одной переменной [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] задает кривую на плоскости. Функция двух переменных [math]\displaystyle{ y=f(x_1,x_2) }[/math] задает двумерную поверхность в трехмерном пространстве, и т.д.

Пример

Рассмотрим функцию [math]\displaystyle{ y=f(x_1,x_2)=\frac{\ln(x_1x_2)}{x_1^2+x_2^2}. }[/math]

Областью определения этой функции является множество [math]\displaystyle{ D=\{{\bf x}=(x_1,x_2)^T\in R^2:\ x_1x_2 \gt 0\}. }[/math] Задавая различные значения двумерной переменной [math]\displaystyle{ {\bf x}\in D }[/math], будем получать различные значения функции. При этом точка [math]\displaystyle{ (x_1,x_2,y)^T }[/math] будет пробегать по некоторой поверхности. Пусть, например, [math]\displaystyle{ x_1=1 }[/math], [math]\displaystyle{ x_2=2 }[/math].

В этой точке функция принимает значение [math]\displaystyle{ y=f(1,2)=(\ln2)/5 }[/math].

Определение:

Величина [math]\displaystyle{ \hbox{ diam} D=\sup_{{\bf x}^{(1)},{\bf x}^{(2)}\in D}\rho({\bf x}^{(1)},{\bf x}^{(2)}) }[/math] называется диаметром области [math]\displaystyle{ D }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \hbox{diam } D \lt +\infty }[/math], то область [math]\displaystyle{ D }[/math] называется ограниченной.

Определение:

Область [math]\displaystyle{ D }[/math] называется связной, если любые две точки этой области можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этой области.

Определение:

Пусть [math]\displaystyle{ {\bf a} }[/math] — предельная точка области [math]\displaystyle{ D\subset R^n }[/math]. Число [math]\displaystyle{ g }[/math] называется пределом функции [math]\displaystyle{ f({\bf x}) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ {\bf a} }[/math] (предела функции по Гейне):

[math]\displaystyle{ g=\lim\limits_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x}), \tag{1} }[/math] если для любой последовательности точек [math]\displaystyle{ \big\{{\bf x}^{(k)}\big\} }[/math] из области [math]\displaystyle{ D }[/math], таких что [math]\displaystyle{ {\bf x}^{(k)}\to{\bf a} }[/math]

при [math]\displaystyle{ k\to+\infty }[/math], выполняется условие [math]\displaystyle{ f({\bf x}^{(k)})\to g }[/math] при [math]\displaystyle{ k\to+\infty }[/math].

Таким образом, как и в одномерном случае, определение предела функции сводится к понятию предела последовательности. Смысл определения предела: вдоль любого пути в области задания функции, ведущего к предельной точке, значение функции должно стремиться к одному и тому же числу. В одномерном случае мы могли приближаться к предельной точке на вещественной прямой слева и справа (вводились лево и правосторонние пределы). В многомерном случае (на плоскости, в трехмерном пространстве, и т.д.) мы можем приближаться к предельной точке как угодно (по прямой, по спирали, и т.д.).

Пусть [math]\displaystyle{ {\bf a}=(a_1,\ldots,a_n)^T }[/math], [math]\displaystyle{ {\bf x}^{(k)}=(x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)})^T }[/math].

Зафиксируем переменные [math]\displaystyle{ x_2,\ldots,x_n }[/math], а переменную [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] устремим к [math]\displaystyle{ a_1 }[/math]. Рассмотрим одномерный предел [math]\displaystyle{ f^{(1)}(x_2,\ldots,x_n)=\lim_{x_1\to a_1}f(x_1,x_2,\ldots,x_n). }[/math] После этого, оставляя фиксированными переменные [math]\displaystyle{ x_3,\ldots,x_n }[/math], устремим переменную [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] к [math]\displaystyle{ a_2 }[/math], и т.д. В результате придем к так называемому повторному пределу [math]\displaystyle{ \lim_{x_n\to a_n}\ldots\lim_{x_1\to a_1}f(x_1,\ldots,x_n). }[/math] Если фиксировать переменные в другом порядке, получим другой повторный предел. Всего, очевидно, можно построить [math]\displaystyle{ n! }[/math] повторных пределов. Так, если [math]\displaystyle{ n=2 }[/math], то будет два повторных предела [math]\displaystyle{ \lim_{x_1\to a_1} \lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2),\quad \lim_{x_2\to a_2} \lim_{x_1\to a_1}f(x_1,x_2). }[/math]

Повторный предел состоит из нескольких одномерных пределов (каждый раз ищем предел только по одной из переменных). Нетрудно доказать, что если существует многомерный предел и какой-то из повторных пределов, то они равны между собой (т.е. вычисление многомерного предела можно свести к вычислению нескольких одномерных пределов).

Пример

Имеем [math]\displaystyle{ \lim_{(x_1,x_2)^T\to(0,0)^T}(x_1^2+x_2^2)=\lim_{x_1\to0} \lim_{x_2\to0}(x_1^2+x_2^2)=\lim_{x_1\to0}x_1^2=0. }[/math]

Однако, существование многомерного предела не гарантирует существование повторного предела, и наоборот.

Пример

Пусть [math]\displaystyle{ {\bf a}=(0,0)^T }[/math], [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2)=\frac{x_1x_2}{x_1^2+x_2^2}. }[/math]

Оба повторных предела здесь существуют [math]\displaystyle{ \lim_{x_1\to 0} \lim_{x_2\to 0}f(x_1,x_2)=\lim_{x_2\to 0} \lim_{x_1\to 0}f(x_1,x_2)=0. }[/math]

В то же время, многомерного предела [math]\displaystyle{ \lim_{(x_1,x_2)^T\to(0,0)^T}f(x_1,x_2) }[/math] здесь не будет. В самом деле, будем двигаться вдоль лучей, ведущих в начало координат: [math]\displaystyle{ x_1\to0,\quad x_2=kx_1 \to 0, }[/math] где коэффициент [math]\displaystyle{ k=\hbox{const} }[/math] задает наклон луча. На этих лучах имеем [math]\displaystyle{ \lim_{x_1\to0}f(x_1,kx_1)=\frac{k}{k^2+1}. }[/math] Этот предел существует, но зависит от выбора [math]\displaystyle{ k }[/math], т.е. вдоль разных лучей, ведущих в предельную точку, значение функции стремится к разным значениям. Значит, многомерного предела нет.

Рассмотрим теперь функцию [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2)=\frac{x_1^2x_2}{x_1^4+x_2^2}. }[/math] В качестве предельной точки снова возьмем [math]\displaystyle{ {\bf a}=(0,0)^T }[/math]. Аналогично получим, что соотношения для повторных пределов верны. Двигаясь вдоль лучей, находим, что предел [math]\displaystyle{ \lim_{x_1\to0}f(x_1,kx_1)=\lim_{x_1\to0}\frac{kx_1}{x_1^2+k^2}=0 }[/math] не зависит от выбора [math]\displaystyle{ k }[/math]. Однако, это еще не означает, что многомерный предел существует, поскольку в определении предела предполагается движение по любым путям, ведущим к предельной точке, не обязательно по лучам. Будем, например, двигаться по параболам: [math]\displaystyle{ x_1\to0,\quad x_2=kx_1^2\to0. }[/math]

Получим [math]\displaystyle{ \lim_{x_1\to0}f(x_1,kx_1^2)=\frac{k}{k^2+1}. }[/math]

Снова имеем зависимость от выбора [math]\displaystyle{ k }[/math], т.е. на каждой рассматриваемой параболе значение функции стремится к разным значениям. Значит, многомерного предела по-прежнему нет.

Пример

Рассмотрим теперь обратную ситуацию. Пусть [math]\displaystyle{ {\bf a}=(0,0)^T }[/math],

[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2)=x_1\sin\frac1{x_2}+x_2\sin\frac1{x_1}. }[/math]

Учитывая предельное соотношение [math]\displaystyle{ 0\leq|f(x_1,x_2)|\leq|x_1|+|x_2|\to0\quad\hbox{при}\quad (x_1,x_2)^T\to(0,0)^T, }[/math] получаем, что многомерный предел существует: [math]\displaystyle{ \lim_{(x_1,x_2)^T\to(0,0)^T}f(x_1,x_2)=0. }[/math]

С другой стороны, ни одного из повторных пределов [math]\displaystyle{ \lim_{x_1\to 0} \lim_{x_2\to 0}f(x_1,x_2),\quad\lim_{x_2\to 0} \lim_{x_1\to 0}f(x_1,x_2) }[/math] здесь не будет.

Если, например, рассмотреть функцию [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2)=x_1+x_2\sin\frac1{x_1}, }[/math] то получим, что повторный предел [math]\displaystyle{ \lim_{x_1\to 0} \lim_{x_2\to 0}f(x_1,x_2)=0 }[/math] здесь существует, а повторный предел [math]\displaystyle{ \lim_{x_2\to 0} \lim_{x_1\to 0}f(x_1,x_2) }[/math]

нет.

Таким образом, сводить многомерный предел к повторному можно, только убедившись в том, что оба они существуют.

Определение предела функции по Гейне удобно использовать в случаях, когда надо доказать, что предела нет. Для этого достаточно найти два пути, ведущих в предельную точку, вдоль которых значение функции стремится к разным величинам, или один путь, вдоль которого значение функции вообще ни к чему не стремится. В тех случаях, когда предел существует,

часто бывает удобнее использовать другое определение предела функции.

Определение:

Пусть [math]\displaystyle{ {\bf a} }[/math] — предельная точка области [math]\displaystyle{ D\subset R^n }[/math]. Число [math]\displaystyle{ g }[/math] называется пределом функции [math]\displaystyle{ f({\bf x}) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ {\bf a} }[/math] (предел функции по Коши):

[math]\displaystyle{ g=\lim\limits_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x}) }[/math], если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] можно указать [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math], такое что для всех [math]\displaystyle{ {\bf x}\in D }[/math], удовлетворяющих условию [math]\displaystyle{ \rho({\bf x},{\bf a}) \lt \delta }[/math],

будет иметь место неравенство [math]\displaystyle{ |f({\bf x})-g| \lt \varepsilon }[/math].}

Будут верны те же теоремы, что и в одномерном случае.

Теорема:

Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Теорема (критерий сходимости Коши):

Для того, чтобы существовал конечный предел [math]\displaystyle{ \lim\limits_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x}) }[/math] необходимо и достаточно, чтобы

для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] можно было указать [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] так, чтобы для всех [math]\displaystyle{ {\bf x}^{(1)},{\bf x}^{(2)}\in D }[/math], удовлетворяющих условиям [math]\displaystyle{ \rho({\bf x}^{(1)},{\bf a}) \lt \delta }[/math], [math]\displaystyle{ \rho({\bf x}^{(2)},{\bf a}) \lt \delta }[/math],

имело место неравенство [math]\displaystyle{ |f({\bf x}^{(1)})-f({\bf x}^{(2)})| \lt \varepsilon }[/math].

Теорема (арифметические свойства предела):

Пусть существуют пределы

[math]\displaystyle{ \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})=g,\quad \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}h({\bf x})=r }[/math].

Тогда: [math]\displaystyle{ \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}(f({\bf x})\pm h({\bf x}))=g\pm r,\quad \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}(f({\bf x})h({\bf x}))=gr }[/math], а если [math]\displaystyle{ r\not=0 }[/math], то

[math]\displaystyle{ \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}\frac{f({\bf x})}{h({\bf x})}=\frac{g}{r} }[/math].

Определение:

Пусть функция [math]\displaystyle{ y=f(x_1,\ldots,x_n) }[/math] определена в области [math]\displaystyle{ D\subset R^n }[/math], а функции

[math]\displaystyle{ x_1=h_1(t_1,\ldots,t_m),\ldots, x_n=h_n(t_1,\ldots,t_m) }[/math] определены в области [math]\displaystyle{ G\subset R^m }[/math]. Тогда функция [math]\displaystyle{ y=f\left({\bf h}({\bf t})\right)=f\left(h_1(t_1,\ldots,t_m),\ldots,h_n(t_1,\ldots,t_m)\right) }[/math] называется суперпозицией скалярной функции [math]\displaystyle{ f({\bf x}) }[/math] и векторной функции [math]\displaystyle{ {\bf h}({\bf t}) }[/math], или иначе, сложной функцией. Здесь

[math]\displaystyle{ {\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)^T }[/math], [math]\displaystyle{ {\bf t}=(t_1,\ldots,t_m)^T }[/math], [math]\displaystyle{ {\bf h}({\bf t})=(h_1({\bf t}),\ldots,h_n({\bf t}))^T }[/math].

Пример. Из функций [math]\displaystyle{ y=x_1x_3+x_2^2 }[/math], [math]\displaystyle{ x_1=\sqrt{t_1+t_2} }[/math], [math]\displaystyle{ x_2=t_1t_2 }[/math], [math]\displaystyle{ x_3=\sin{t_1} }[/math] можно построить суперпозицию [math]\displaystyle{ y=\sqrt{t_1+t_2}\sin{t_1}+t_1^2t_2^2 }[/math].

Теорема (о суперпозиции пределов):

Пусть [math]\displaystyle{ {\bf b}=(b_1,\ldots,b_m)^T }[/math] — предельная точка области [math]\displaystyle{ G\in R^m }[/math],

[math]\displaystyle{ {\bf a}=(a_1,\ldots,a_n)^T }[/math] — предельная точка области [math]\displaystyle{ D\in R^n }[/math]. Тогда если существуют пределы [math]\displaystyle{ \lim_{{\bf t}\to{\bf b}}{\bf h}({\bf t})={\bf a},\quad \lim_{{\bf x}\to{\bf a}}f({\bf x})=g }[/math],

то [math]\displaystyle{ \lim_{{\bf t}\to{\bf b}}f\left({\bf h}({\bf t})\right)=g }[/math].