Математический анализ

Очерк теории чисел

• Элементы теории множеств
• Символика математической логики
• Натуральные и рациональные числа
• Аксиомы Пеано
• Операции с натуральными и рациональными числами
• Аксиомы поля рациональных чисел
• Сечение множества рациональных чисел
• Вещественные числа
• Операции с вещественными числами
• Ограниченные числовые множества
• Точные верхняя и нижняя грани множества
• Принцип Коши-Кантора (о вложенных промежутках)
• Лемма Бореля–Лебега о покрытиях множества
• Счетные множества и множества мощности континуума
• Комплексные числа, операции с комплексными числами

Числовые последовательности

• Понятие последовательности чисел
• Монотонные последовательности
• Ограниченные последовательности
• Предел последовательности
• Теорема о единственности предела
• Теорема об ограниченности сходящейся последовательности
• Арифметические свойства пределов последовательностей
• Связь предела последовательности чисел и предела последовательности модулей этих чисел
• Предел последовательности неотрицательных чисел
• Связь предела последовательности с пределами мажорантной и минорантной последовательностями
• Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности
• Число е
• Подпоследовательности
• Теорема Больцано–Вейерштрасса
• Теорема об ограниченной расходящейся последовательности
• Принцип сходимости Коши–Больцано
• Частичные пределы
• Верхний и нижний пределы последовательности
• Сходимость к бесконечности
• Теорема о монотонной неограниченной последовательности
• Свойства последовательностей с бесконечным пределом
• Типы неопределенностей при вычислении пределов последовательностей
• Теорема Штольца
• Предел последовательностей комплексных чисел
• Связь с вещественными последовательностями

Функции вещественного аргумента

• Понятие функции
• Предельная точка числового множества
• Предел функции по Гейне
• Односторонние пределы
• Верхний и нижний пределы
• Арифметические свойства предела
• Теорема о пределе сложной функции
• Теорема о пределе монотонной функции
• Теорема о функции, не имеющей предела
• Предел функции по Коши
• Теорема об эквивалентности двух определений предела функции
• Критерий сходимости Коши
• Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин
• Эквивалентные функции
• Замечательные пределы
• Непрерывность функций
• Равномерная непрерывность
• Теорема Кантора
• Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях
• Теоремы Больцано–Коши о нуле функции и о промежуточных значениях
• Теорема о непрерывности обратной функции
• Теорема о строгой монотонности взаимнооднозначной непрерывной функции
• Классификация разрывов функции

Дифференциальное исчисление функций одного вещественного аргумента

• Производная функции
• Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
• Геометрический и физический смысл производной
• Уравнение касательной и нормали
• Таблица элементарных производных
• Арифметические свойства дифференцируемых функций
• Производная сложной функции
• Производная обратной функции
• Локальные и глобальные экстремумы функций
• Теорема Ферма
• Теорема Ролля
• Теорема Лагранжа
• Теорема Коши
• Исследование поведения функции
• Теорема о монотонной функции
• Необходимые и достаточные условия экстремумов
• Производные старшего порядка
• Формула Лейбница
• Формула Тейлора
• Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
• Выпуклость и вогнутость функций
• Теоремы о касательных
• Точки перегиба функций
• Исследование функций и построение графиков
• Дифференциалы функции
• Инвариантность формы первого дифференциала
• Производная функции, заданной неявно или параметрически
• Методы приближенного поиска корней алгебраических уравнений
• Интерполяция и регрессия

Функциональные ряды

• Степенные ряды
• Комплексные ряды
• Аппроксимация непрерывных функций степенными полиномами
• Ряды Фурье
• Сходимость классического ряда Фурье
• Сходимость в среднем рядов Фурье
• Почленное интегрирование и дифференцирование рядов Фурье
• Аппроксимация непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами
• Обобщенное суммирование рядов
• Бесконечные произведения

Функции ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса

• Функции ограниченной вариации
• Интеграл Стилтьеса

Функции нескольких переменных

• Метрические пространства
• Пространство Rn
• Последовательности в пространстве Rn
• Функции нескольких переменных. Предел функции
• Непрерывные функции
• Дифференцируемость функций
• Производные сложной функций
• Производные по направлению
• Производные и дифференциалы старшего порядка
• Экстремумы функции нескольких переменных
• Численные методы поиска экстремума
• Теорема о неявной функции
• Системы функций
• Теорема о системе неявных функций
• Условный экстремум
• Касательные и нормали в трехмерном пространстве

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

• Двойной интеграл
• Правила вычисления двойного интеграла
• Криволинейные интегралы 1-ого рода
• Криволинейные интегралы второго рода
• Криволинейные интегралы второго рода по замкнутому контуру
• Замена переменных в двойном интеграле
• Площадь криволинейной поверхности
• Поверхностные интегралы первого рода
• Поверхностные интегралы второго рода
• Формула Стокса
• Тройной интеграл
• Формула Остроградского-Гаусса
• Элементы теории поля

Интегралы, зависящие от параметра

• Равномерная сходимость функций
• Собственные интегралы, зависящие от параметра
• Несобственные интегралы, зависящие от параметра
• Интегралы Лапласа
• Эйлеровы интегралы
• Интеграл Фурье

Практика

• Задачи по математическому анализу