Формула Муавра: различия между версиями
СВ (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в Комплексные числа#Тригонометр...») |
СВ (обсуждение | вклад) |
||
| (не показано 6 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
Для любого комплексного числа | Для любого комплексного числа <math>\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)</math> (в [[Комплексные числа#Тригонометрическая форма|тригонометрической форме]]) и любого целого <math>n</math>: | ||
<math>\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).</math> | |||
По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных <math>n</math>. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого <math>n\le 0</math>. Сначала заметим, что при <math>n=0</math> формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь <math>k=-m</math>, где <math>m > 0</math>. Тогда | |||
<math>\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } | |||
= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).</math> | |||
[[Категория:Алгебра и геометрия]] | [[Категория:Алгебра и геометрия]] | ||
[[Категория:Комплексные числа]] | [[Категория:Комплексные числа]] | ||
Текущая версия на 20:21, 24 октября 2021
Для любого комплексного числа [math]\displaystyle{ \alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi) }[/math] (в тригонометрической форме) и любого целого [math]\displaystyle{ n }[/math]:
[math]\displaystyle{ \left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right). }[/math]
По следствию к теореме формула верна для натуральных [math]\displaystyle{ n }[/math]. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого [math]\displaystyle{ n\le 0 }[/math]. Сначала заметим, что при [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь [math]\displaystyle{ k=-m }[/math], где [math]\displaystyle{ m \gt 0 }[/math]. Тогда
[math]\displaystyle{ \left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } = r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right). }[/math]