Комплексные числа
Число $a$ именуют действительной частью комплексного числа, а число $b$ — мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.
Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется чисто мнимым.
Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$.
Операции с комплексными числами
Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.
Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.
Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.
Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е.
$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$.
Свойства операций с комплексными числами
- $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
- $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
- $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
- $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
- $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).
Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:
- $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$
- $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$
Мнимая единица
Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое мнимой единицей. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.
Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.
Тригонометрическая форма
Для произвольного комплексного числа $\alpha$: $\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ где $r$ — модуль комплексного числа.
$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$,
называется аргументом комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.
Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда
$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$
т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.
$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$
$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$
В частности, когда $\alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_n$, получаем формулу Муавра $\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$
Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 +i\sin \varphi_2)$. Найдем частное
$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_1 -i \sin \varphi_1 ) = \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 +\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 )\right] = \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_2 -\varphi_2 ) + i\sin (\varphi_2 - \varphi_2 )\right).$
Таким образом, модуль частного $\mid \frac{\alpha_2}{\alpha_1 } \mid = \frac{r_2}{r_1} = \frac{\mid\alpha_2\mid}{\mid\alpha_1\mid}$, а аргумент частного $\arg \left(\frac{\alpha_2 }{\alpha_1} \right) = \varphi_2 - \varphi_1 = \arg (\alpha_2) - \arg (\alpha_1).$
Корень из комплексного числа
Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что
$R = \sqrt[n]{r}$, $n\psi =\varphi +2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
В соответствии с формулой произвольный корень $n$-й степени определяется выражением $\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$ где $k$ — произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_1 } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение $\frac{\varphi + 2\pi k_1 }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_2 }{n} + 2\pi m$ для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_1 = k_2 +nm$. Если положить, например, $k_2 =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_1 = \pm n$. Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.
Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.
Пример
Извлечь корень $\sqrt[4]{-4}$.
Представим число под корнем в тригонометрической форме $-4 = 4 ( \cos \pi + i \sin \pi )$.
Согласно теоремы существует 4 значения корня: $\sqrt(2) \left( \cos\frac{\pi+2\pi k}{4} + i \sin\frac{\pi+2\pi k}{4} \right)$, $k=\overline{0,3}$:
- $k=0$: $(1+i)$,
- $k=1$: $(-1+i)$,
- $k=2$: $(-1-i)$,
- $k=3$: $(1-i)$.