Комплексные числа

Определение:

Комплексным числом $\alpha$ называется пара вещественных чисел $a$ и $b$, взятых в определенном порядке, т. е. $\alpha = (a, b)$. Число $a$ именуют действительной частью комплексного числа, а число $b$ — мнимой частью и обозначают $a = Re(\alpha)$, $b = Im(\alpha)$.

Если $b = 0$, то комплексное число $(a, 0)$ совпадает с вещественным числом $a$. Если действительная часть комплексного числа равна нулю, то это число называется чисто мнимым.

Операции с комплексными числами

Определение:

Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются равными, если $a=c$, $b=d$.

Определение:

Суммой двух комплексных чисел $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha + \beta =(a+c, b+d)$.

Определение:

Разностью двух комплексных чисел $\beta =(c, d)$ и $\alpha = (a,b)$ называется число $\gamma = \beta - \alpha $ такое, что $\alpha + \gamma = \beta$.

Заметим, что в силу свойств комплексных чисел, если $\alpha + \gamma = \beta$, то $-\alpha +\alpha +\gamma = -\alpha +\beta$, следовательно, $\gamma = (c,d)+(-a,-b) = (c-a,d-b)$.

Определение:

Произведением двух комплексных чисел $\alpha = (a, b)$ и $\beta = (c, d)$ называется комплексное число $\alpha \beta = (ac-bd, ad+bc)$.

Заметим, что введенные правила сложения и умножения комплексных чисел не противоречат соответствующим операциям в множестве вещественных чисел. Действительно, если $\alpha = (a, 0)$, $\beta = (c, 0)$, то $\alpha +\beta = (a+c, 0) = a+c$, $\alpha \beta = (ac, 0) = ac$.

Непосредственно из определения следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Свойства операций с комплексными числами

• $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ (коммутативность сложения);
• $\alpha \beta = \beta \alpha$ (коммутативность умножения);
• $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta+\gamma)$ (ассоциативность сложения);
• $(\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma)$ (ассоциативность умножения);
• $(\alpha+\beta) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Мнимая единица

Особое место среди комплексных чисел занимает число $i=(0, 1)$, называемое мнимой единицей. Оно обладает тем свойством, что $i^{2} = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$, т. е. $i^{2} = -1$.

Любое комплексное число можно представить в виде суммы вещественного числа и чисто мнимого числа: $\alpha = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi$.

Сопряженные комплексные числа

Определение:

Два комплексных числа $(a,b)$ и $(c, d)$ называются сопряженными, если $a=c$, $b=-d$.

Если дано комплексное число $\alpha = (a,b)$, то сопряженное к нему число $(a, -b)$ обозначают $\bar{\alpha}$.

Для сопряженных комплексных чисел справедливы соотношения:

• $\alpha +\bar{\alpha} = (2a,0) = 2Re(\alpha),$
• $\alpha \bar{\alpha} = (a,b)(a,-b) = (a^{2} + b^{2} ,0) = a^{2} + b^{2}.$

Деление комплексных чисел

Определение:

Запись $\frac{1}{\alpha}$, где $\alpha \ne (0,0)$, обозначает комплексное число $\delta$ такое, что $\alpha \delta = 1$.

Для определения числа $\delta$ умножим обе части равенства $\alpha \delta = 1$ на величину $\frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 +b^2)}$. В силу соотношения $\alpha \bar{\alpha} = a^2 + b^2$ имеем $\delta = \frac{ \bar{\alpha} }{(a^2 + b^2)}$.

Определение:

Частным двух комплексных чисел называется число $\frac{\beta}{\alpha} = \beta \delta$.

Операция деления двух комплексных чисел легко сводится к операции умножения. Для этого числитель и знаменатель следует умножить на число, сопряженное знаменателю, т. е. $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\beta \bar{\alpha} }{\alpha \bar{\alpha} } = \frac{\beta \bar{\alpha} }{ a^2 + b^2 }$.

Тригонометрическая форма

Определение:

Вещественное число $\sqrt{a^2 +b^2} = \sqrt{\alpha \bar{\alpha} } = \mid \alpha \mid = r$ называют модулем комплексного числа $\alpha$.

Для произвольного комплексного числа $\alpha$: $\alpha = a+bi = \sqrt{ a^2 + b^2 } \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} } + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } } i \right) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi),$ где $r$ — модуль комплексного числа.

Угол $\varphi$ такой, что $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2} }$, $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 } }$, называется аргументом комплексного числа $\alpha$ и обозначается $\varphi = \arg (\alpha)$.

Аргумент определен с точностью до $2\pi k$, где $k$ — любое целое число. Число $(0,0)$ не имеет определенного аргумента.

Определение:

Форма записи комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, где $r$ — модуль, а $\varphi =\arg (\alpha )$ — аргумент, называется тригонометрической.

Теорема:

Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент произведения — сумме аргументов сомножителей.

Доказательство:

Возьмем произвольно два комплексных числа, представленных в тригонометрической форме $\alpha_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1 )$, $\alpha_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2 )$. Тогда

$\alpha_1 \alpha_2 = r_1 r_2 \left[ (\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 ) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 +\cos \varphi_1 \sin \varphi_2 ) \right]= r_1 r_2 \left( \cos (\varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2 ) \right),$

т. е. $\mid \alpha_1 \alpha_2 \mid = r_1 r_2$, $\arg (\alpha_1 \alpha_2) = \varphi_1 +\varphi_2$.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Следствие:

Справедливы соотношения

$\mid \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n \mid = \mid \alpha_1 \mid \cdot \mid\alpha_2\mid \cdots \mid\alpha_n\mid,$

$\arg (\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n) = \sum\limits_{k=1}^{n} \arg(\alpha_k).$

В частности, когда $\alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n}$, получаем формулу Муавра $\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n\varphi \right).$

Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда

$$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} =\frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{m} } =

r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^{m} }{(\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^{m} } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos (-m)\varphi + i \sin (-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$$ 

Теорема:

Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Доказательство:

Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме $\alpha_{1} = r_{1} (\cos \varphi_{1} + i\sin \varphi_{1} )$, $\alpha_{2} = r_{2} (\cos \varphi_{2} +i\sin \varphi_{2})$. Найдем частное $$\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{r_{2} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2})}{r_{1} (\cos \varphi_{1} + i \sin \varphi_{1} )} = \frac{r_2}{r_1} (\cos \varphi_{2} + i \sin \varphi_{2}) (\cos \varphi_{1} -i \sin \varphi_{1} ) =$$ $$= \frac{r_2}{r_1} \left[(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2} +\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} ) + i (\cos \varphi_{1} \sin \varphi_{2} + \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} )\right] = $$ $$= \frac{r_2}{r_1} \left(\cos (\varphi_{2} -\varphi_{2} ) + i\sin (\varphi_{2} - \varphi_{2} )\right).$$

Таким образом, модуль частного $\left

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Определение:

Для любого натурального $n$ корнем $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$ называется комплексное число $\beta = \sqrt[n]{\alpha}$ такое, что $\beta^{n} = \alpha$.

Допустим, что число $\alpha = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r\ne 0$, а число $\beta = R (\cos \psi + i \sin \psi)$. По определению имеем $\beta^{n} = R^{n} (\cos n\psi + i \sin n\psi) = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \alpha$, следовательно, $R^{n} =r$, $\cos n\psi = \cos \varphi$, $\sin n\psi = \sin \varphi$. Отсюда получаем, что \begin{equation} \label{eq_1_1_1} R = \sqrt[n]{r}, \; n\psi =\varphi +2\pi k, \end{equation} где $k$ — любое целое число.

Теорема:

Существует ровно $n$ значений корня $n$-й степени из произвольного комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, определяемых по формуле $$\sqrt[n]{\alpha} = \sqrt[n]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\varphi +2\pi k}{n} \right)\right], k=0, 1, 2, ..., n-1.$$

Доказательство. В соответствии с формулой \eqref{eq_1_1_1} произвольный корень $n$-й степени определяется выражением $$\beta_{k} = \sqrt[{n}]{r} \left[\cos \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right) + i\sin \left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)\right],$$ где $k$ — произвольное целое число. Аргументы равных комплексных чисел могут отличаться лишь на величину кратную $2\pi$. Поэтому, если $\beta_{k_{1} } = \beta_{k_2}$, то для аргументов справедливо соотношение $$\frac{\varphi + 2\pi k_{1} }{n} = \frac{\varphi + 2\pi k_{2} }{n} + 2\pi m$$ для некоторого целого $m$. Отсюда следует, что $k_{1} = k_{2} +nm$. Если положить, например, $k_{2} =0$, то ближайший равный ему корень будет соответствовать значению $k_{1} = \pm n$. Поэтому при $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ получаем различные значения $\beta_{k}$.

Все корни $n$-й степени из комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi +i \sin \varphi )$ располагаются на окружности с радиусом $\sqrt[{n}]{\mid \alpha\mid }$ в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в эту окружность.