Формула Муавра: различия между версиями
СВ (обсуждение | вклад) м |
СВ (обсуждение | вклад) м |
||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда | По [[Комплексные числа#col2|следствию к теореме]] формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда | ||
$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^ | $\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } | ||
= r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$ | |||
[[Категория:Алгебра и геометрия]] | [[Категория:Алгебра и геометрия]] | ||
[[Категория:Комплексные числа]] | [[Категория:Комплексные числа]] | ||
Версия 12:13, 22 октября 2021
Для любого комплексного числа $\alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ (в тригонометрической форме) и любого целого $n$. $\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$
По следствию к теореме формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m>0$. Тогда
$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } = r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$