Формула Муавра

Для любого комплексного числа [math]\displaystyle{ \alpha = r(\cos \varphi + i\sin \varphi) }[/math] (в тригонометрической форме) и любого целого $n$:

$\left[ r(\cos \varphi + i \sin \varphi ) \right]^{n} = r^{n} \left(\cos n\varphi + i \sin n \varphi \right).$

По следствию к теореме формула верна для натуральных $n$. Докажем, что формула Муавра справедлива, в том числе, для любого целого $n\le 0$. Сначала заметим, что при $n=0$ формула Муавра, очевидно, имеет место. Пусть теперь $k=-m$, где $m > 0$. Тогда

$\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{k} =\left[ r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^{-m} = \frac{1}{\left[r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\right]^m } = r^{-m} \frac{(\cos \varphi - i \sin \varphi )^m }{ (\cos^{2} \varphi + \sin^{2} \varphi)^m } = r^{-m} \left[\cos (-\varphi) + i\sin (-\varphi)\right]^{m} = r^{-m} \left[\cos(-m)\varphi + i \sin(-m)\varphi \right] = r^{k} \left(\cos k\varphi + i \sin k\varphi \right).$