Евклидовы, нормированные и метрические пространства

Определение:

Линейное n-мерное пространство называется евклидовым векторным n-мерным пространством, если в нем задана функция, сопоставляющая двум любым элементам $a$ и $b$ этого пространства вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое $a\cdot b$, причем выполняются аксиомы:

12. $a\cdot b=b\cdot a$;

13. $\lambda (a\cdot b)=(\lambda a)\cdot b$;

14. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$;

15. $a\cdot a > 0$, если $a\ne 0$, $a\cdot a=0$, если $a=0$.

Рассмотренные ранее линейные векторные пространства $V^{1}$, $V^{2}$, $V^{3}$ со скалярным произведением, определяемым по формуле [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \varphi }[/math], являются евклидовыми векторными пространствами соответственно размерностей 1, 2, 3.

Векторное пространство $R^{n}$ будет евклидовым n-мерным пространством, если ввести в нем скалярное произведение для его любых двух элементов $a(\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} )$ и $b(\beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n} )$ по формуле $a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} \beta_{i} $.

Евклидово пространство еще называют конечным гильбертовым пространством.

Определение:

Два ненулевых элемента $a$ и $b$ евклидова пространства называются ортогональными, если равно нулю их скалярное произведение.

Заметим, что для геометрических векторов $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}\bot \vec{b}$, поэтому понятие ортогональности в пространствах $V^{2} $ и $V^{3} $ эквивалентно понятию перпендикулярности.

Теорема:

Для любых двух элементов $a$ и $b$ произвольного евклидова пространства верно неравенство [math]\displaystyle{ (a\cdot b)^{2} \le (a\cdot a)(b\cdot b), }[/math] называемое неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство:

На основании аксиомы 15 имеем неравенство $(\lambda a-b)(\lambda a-b)\ge 0$, которое можно представить в виде [math]\displaystyle{ \lambda ^{2} (a\cdot a)-2\lambda (a\cdot b)+(b\cdot b)\ge 0 }[/math].

Так как $a\cdot a > 0$, то необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена относительно $\lambda$ является неположительность его дискриминанта, то есть $(a\cdot b)^{2} \le (a\cdot a)(b\cdot b)$. Теорема доказана.

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что $-1\le \frac{(a\cdot b)}{\sqrt{a\cdot a} \cdot \sqrt{b\cdot b} } \le 1$. Следовательно, в любом евклидовом векторном пространстве можно определить [math]\displaystyle{ \left|a\right|=\sqrt{a\cdot a} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos \varphi =\frac{a\cdot b}{\left|a\right|\cdot \left|b\right|} }[/math], [math]\displaystyle{ \varphi =\arccos \frac{a\cdot b}{\left|a\right|\cdot \left|b\right|} }[/math].

В евклидовом точечном пространстве (то есть в аффинном пространстве, в котором присоединенный линеал является евклидовым векторным пространством) можно находить расстояние между точками [math]\displaystyle{ d(A,B)=\left|\overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} } }[/math].

Определение:

Линейное n-мерное пространство $L$ называется нормированным, если имеется правило, посредством которого всякому элементу $x\in L$ ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой указанного элемента и обозначаемое символом [math]\displaystyle{ \left\| x\right\| }[/math], причем должны выполняться соотношения:

• [math]\displaystyle{ \left\| x\right\| \ge 0 }[/math], если $x\ne 0$, [math]\displaystyle{ \left\| x\right\| =0 }[/math], если $x=0$;
• [math]\displaystyle{ \left\| \lambda x\right\| =\left|\lambda \right|\cdot \left\| x\right\| }[/math] для любого $x\in L$ и произвольного вещественного числа $\lambda $;
• [math]\displaystyle{ \left\| x+y\right\| \le \left\| x\right\| +\left\| y\right\| }[/math] для любых $x,y\in L$.

Рис. 1. Неравенство [math]\displaystyle{ |x+y| \le |x|+|y| }[/math]: при несонаправленных векторах оно строгое, при сонаправленных превращается в равенство. Доказательство опирается на неравенство Коши — Буняковского: [math]\displaystyle{ x\cdot y\le|x| |y| }[/math].

Теорема:

Всякое евклидово пространство будет нормированным, если норму в нем определить равенством [math]\displaystyle{ \left\| x\right\| =\sqrt{x\cdot x} }[/math].

Доказательство:

Справедливость для нормы первых двух условий вытекает из соответствующих аксиом для скалярного произведения. Опираясь на неравенство Коши-Буняковского, убедимся в справедливости последнего неравенства. Действительно, [math]\displaystyle{ \left|x\cdot y\right|\le \sqrt{x\cdot x} \cdot \sqrt{y\cdot y} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \left\| x+y\right\| =\sqrt{(x+y)\cdot (x+y)} =\sqrt{(x\cdot x)+2(x\cdot y)+(y\cdot y)} \le \sqrt{(x\cdot x)+2\sqrt{x\cdot x} \sqrt{y\cdot y} +(y\cdot y)} =\sqrt{(\sqrt{x\cdot x} +\sqrt{y\cdot y} )^{2} } =\left\| x\right\| +\left\| y\right\| }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Сосредоточив внимание на линейных операциях в множестве, мы пришли к понятию линейного (векторного) пространства, а потом аффинного (точечного) пространства. Введя скалярное произведение в ассоциированном векторном пространстве, мы пришли к евклидову точечному пространству. Обратим теперь внимание на одно лишь свойство точечного множества — на наличие расстояния в нем. Это приводит нас к понятию метрического пространства.

Определение:

Множество называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов сопоставляется по некоторому правилу неотрицательное вещественное число, называемое расстоянием, причем справедливы соотношения:

• $\rho (x,y) > 0$, если $x\ne y$; $\rho (x,y)=0$, если $x=y$;
• $\rho (x,y)=\rho (y,x)$;
• $\rho (x,y)\le \rho (x,z)+\rho (z,y)$.

Отметим, что нормированное пространство можно превратить в метрическое, если положить [math]\displaystyle{ \rho (x,y)=\left\| x - y \right\| }[/math].

Линейное метрическое пространство легко превратить в нормированное, если положить [math]\displaystyle{ \left\| x \right\| =\rho (x,0) }[/math].

Рис. 2. Пять уровней структуры: линейное пространство, аффинное, евклидово со скалярным произведением, нормированное с нормой [math]\displaystyle{ |x|=\sqrt{x\cdot x} }[/math] и метрическое с расстоянием [math]\displaystyle{ \rho(x,y)=|x-y| }[/math]. Сверху вниз структура только теряется, поэтому обратные переходы возможны не всегда.

---

Конспект: Алгебра и геометрия