Евклидовы, нормированные и метрические пространства
12. $a\cdot b=b\cdot a$;
13. $\lambda (a\cdot b)=(\lambda a)\cdot b$;
14. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$;
15. $a\cdot a > 0$, если $a\ne 0$, $a\cdot a=0$, если $a=0$.
Рассмотренные ранее линейные векторные пространства $V^{1}$, $V^{2}$, $V^{3}$ со скалярным произведением, определяемым по формуле [math]\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \varphi }[/math], являются евклидовыми векторными пространствами соответственно размерностей 1, 2, 3.
Векторное пространство $R^{n}$ будет евклидовым n-мерным пространством, если ввести в нем скалярное произведение для его любых двух элементов $a(\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} )$ и $b(\beta_{1}, \beta_{2}, ..., \beta_{n} )$ по формуле $a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} \beta_{i} $.
Евклидово пространство еще называют конечным гильбертовым пространством.
Заметим, что для геометрических векторов $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}\bot \vec{b}$, поэтому понятие ортогональности в пространствах $V^{2} $ и $V^{3} $ эквивалентно понятию перпендикулярности.
На основании аксиомы 15 имеем неравенство $(\lambda a-b)(\lambda a-b)\ge 0$, которое можно представить в виде [math]\displaystyle{ \lambda ^{2} (a\cdot a)-2\lambda (a\cdot b)+(b\cdot b)\ge 0 }[/math].
Так как $a\cdot a > 0$, то необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена относительно $\lambda$ является неположительность его дискриминанта, то есть $(a\cdot b)^{2} \le (a\cdot a)(b\cdot b)$. Теорема доказана.
Из неравенства Коши-Буняковского следует, что $-1\le \frac{(a\cdot b)}{\sqrt{a\cdot a} \cdot \sqrt{b\cdot b} } \le 1$. Следовательно, в любом евклидовом векторном пространстве можно определить [math]\displaystyle{ \left|a\right|=\sqrt{a\cdot a} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos \varphi =\frac{a\cdot b}{\left|a\right|\cdot \left|b\right|} }[/math], [math]\displaystyle{ \varphi =\arccos \frac{a\cdot b}{\left|a\right|\cdot \left|b\right|} }[/math].
В евклидовом точечном пространстве (то есть в аффинном пространстве, в котором присоединенный линеал является евклидовым векторным пространством) можно находить расстояние между точками [math]\displaystyle{ d(A,B)=\left|\overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} } }[/math].
- [math]\displaystyle{ \left\| x\right\| \ge 0 }[/math], если $x\ne 0$, [math]\displaystyle{ \left\| x\right\| =0 }[/math], если $x=0$;
- [math]\displaystyle{ \left\| \lambda x\right\| =\left|\lambda \right|\cdot \left\| x\right\| }[/math] для любого $x\in L$ и произвольного вещественного числа $\lambda $;
- [math]\displaystyle{ \left\| x+y\right\| \le \left\| x\right\| +\left\| y\right\| }[/math] для любых $x,y\in L$.
Справедливость для нормы первых двух условий вытекает из соответствующих аксиом для скалярного произведения. Опираясь на неравенство Коши-Буняковского, убедимся в справедливости последнего неравенства. Действительно, [math]\displaystyle{ \left|x\cdot y\right|\le \sqrt{x\cdot x} \cdot \sqrt{y\cdot y} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \left\| x+y\right\| =\sqrt{(x+y)\cdot (x+y)} =\sqrt{(x\cdot x)+2(x\cdot y)+(y\cdot y)} \le \sqrt{(x\cdot x)+2\sqrt{x\cdot x} \sqrt{y\cdot y} +(y\cdot y)} =\sqrt{(\sqrt{x\cdot x} +\sqrt{y\cdot y} )^{2} } =\left\| x\right\| +\left\| y\right\| }[/math].
Сосредоточив внимание на линейных операциях в множестве, мы пришли к понятию линейного (векторного) пространства, а потом аффинного (точечного) пространства. Введя скалярное произведение в ассоциированном векторном пространстве, мы пришли к евклидову точечному пространству. Обратим теперь внимание на одно лишь свойство точечного множества — на наличие расстояния в нем. Это приводит нас к понятию метрического пространства.
- $\rho (x,y) > 0$, если $x\ne y$; $\rho (x,y)=0$, если $x=y$;
- $\rho (x,y)=\rho (y,x)$;
- $\rho (x,y)\le \rho (x,z)+\rho (z,y)$.
Отметим, что нормированное пространство можно превратить в метрическое, если положить [math]\displaystyle{ \rho (x,y)=\left\| x - y \right\| }[/math].
Линейное метрическое пространство легко превратить в нормированное, если положить [math]\displaystyle{ \left\| x \right\| =\rho (x,0) }[/math].
Конспект: Алгебра и геометрия