Аффинные системы координатa
Аффинная система координат [math]\displaystyle{ O e_{1} e_{2} ... e_{n} }[/math] в аффинном пространстве $A^n$ есть совокупность, состоящая из произвольной точки $O$, называемой началом координат, и базиса $e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}$ из присоединенного линеала $L^{n}$.
Подчеркнем, что аффинная система координат задается двумя разнородными объектами — точкой $O$ из аффинного пространства и базисом $e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} $ из присоединенного линеала.
Пусть $A$ — произвольная точка аффинного пространства $A^n$. Вместе с началом координат $O$ точка $A$ определяет элемент (радиус-вектор) $r_{A} =OA\in L^{n}$, координаты которого определяются из разложения по базису $e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}$: $OA=x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} +...+ x_{n} e_{n} $.
Аффинными координатами произвольной точки $A\in A^n$ называют координаты соответствующего радиус-вектора $r_{A} =OA\in L^{n} $ и обозначают символом $A(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} )$.
Ясно, что координаты точки $А$ определяются однозначно в силу единственности разложения вектора по заданному базису.
Произвольный вектор $AB\in L^{n} $ можно представить как разность соответствующих радиус-векторов $AB=r_{B} -r_{A} $.
Если вектор $AB$ задан координатами своего начала $A(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} )$ и конца $B(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n} )$ относительно базиса $e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}$, то его координаты относительно того же базиса определяются из соотношения как коэффициенты разложения по указанному базису в виде [math]\displaystyle{ AB=(y_{1} - x_{1} )e_{1} +(y_{2} - x_{2} )e_{2} +...+(y_{n} - x_{n} )e_{n} }[/math] и обычно используют обозначение $AB(y_{1} -x_{1}, y_{n} -x_{2}, ..., y_{n} -x_{n} )$.
Прямой в аффинном пространстве $A^n$, проходящей через точку $C\in A^n$ в направлении ненулевого вектора $u\in L^{n}$, называется множество всех точек $P\in A^n$, для которых $CP=\lambda u$, где $\lambda \in (-\infty, +\infty )$ — вещественное число. Указанный вектор $u$ называется направляющим вектором прямой.
При рассмотрении аффинных систем координат на прямой, плоскости и трехмерном пространстве, базисные векторы соответствующих линеалов $V^{1}$, $V^{2}$, $V^{3} $ приводятся в общее начало.
Прямые в рассматриваемых пространствах, определяемые началом координат $O$ и соответствующими базисными векторами, называются осями координат ($O\vec{e}_{1}$, $O\vec{e}_{2}$, $O\vec{e}_{3}$); ($O\vec{e}_{1}$, $O\vec{e}_{2} $); $O\vec{e}_{1} $.
В трехмерном аффинном пространстве рассматривают также координатные плоскости, определяемые соответствующими парами координатных осей ($O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2}$, $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{3}$, $O\vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $).
Заметим, что тройка будет правой, если, находясь внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайший поворот от первого из них ко второму, а затем от второго к третьему осуществляется против хода часовой стрелки.
Очевидно, что при круговой замене ориентация тройки не изменяется, то есть если $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2}$, $\vec{e}_{3} $ правая тройка векторов, то $\vec{e}_{3}$, $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2} $ и $\vec{e}_{2}$, $\vec{e}_{3}$, $\vec{e}_{1} $ также будут правыми.
Упорядоченная пара базисных векторов $\vec{e}_{1}$, $\vec{e}_{2} $ называется правой (левой), если кратчайший поворот от $\vec{e}_{1} $ к $\vec{e}_{2} $ происходит против (по) часовой стрелки.
Аффинная система координат называется правой (левой), если ее базис правый (левый). В дальнейшем ради определенности будем рассматривать только правые системы координат.
Конспект: Алгебра и геометрия