Геометрический смысл аффинных координат

Рассмотрим прямую $O\vec{e}_{1} $ и вектор $\overrightarrow{OM} =\vec{a}$, коллинеарный вектору $\vec{e}_{1} $. Тогда, $\vec{a}=\lambda \vec{e}_{1}$, причем $\lambda =\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}_{1} |}$, если $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{e}_{1}$, и $\lambda =-\frac{|\vec{a}|}{|\vec{e}_{1} |}$, если $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{e}_{1} $.

Определение:

Указанное число $\lambda$ называется алгебраической мерой вектора $\vec{a}$ на оси, определяемой вектором $\vec{e}_{1}$, и обозначается $\lambda =mes_{\vec{e}_{1} } \vec{a}$.

Рис. 1. Мера вектора на оси — коэффициент [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] в равенстве [math]\displaystyle{ a = \lambda e }[/math]. Поэтому у [math]\displaystyle{ a = 2e }[/math] мера равна 2, у [math]\displaystyle{ b = -1{,}5e }[/math] равна −1,5, а у суммы [math]\displaystyle{ a + b = 0{,}5e }[/math] — 0,5: мера линейна.

С учетом введенного обозначения, очевидно, что $\vec{a}=\left(mes_{\vec{e}_{1} } \vec{a}\right)\vec{e}_{1} $.

Лемма:

Для любых трех коллинеарных векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ и произвольного числа $\lambda$ справедливы соотношения $mes_{\vec{e} } \left(\vec{a}+\vec{b}\right)=mes_{\vec{e} } \vec{a}+mes_{\vec{e} } \vec{b}, mes_{\vec{e} } \left(\lambda \vec{a}\right)=\lambda mes_{\vec{e} } \vec{a}$.

Доказательство:

Пусть $\lambda \vec{a}\uparrow \uparrow \vec{e}$, тогда по определению алгебраической меры вектора $ mes_{\vec{e} } \left(\lambda \vec{a}\right) = \frac{

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

Таким образом, можно утверждать, что аффинная координата произвольной точки $M$ на координатной оси равна алгебраической мере ее радиус-вектора $\overrightarrow{OM} $.

Пусть задана аффинная система координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} $ и произвольный вектор $\vec{a}= \overrightarrow{NM} $. Спроектируем начало и конец данного вектора на координатные оси, получаем соответственно $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } $ и $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } $.

Определение:

Вектор $\overrightarrow{N_{1} M_{1} }$ ($\overrightarrow{N_{2} M_{2} }$) называется геометрической проекцией вектора $\vec{a}$ на координатную ось $O\vec{e}_{1} $ ($O\vec{e}_{2} $).

Для геометрической проекции вектора на координатные оси будем использовать обозначение $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}$, $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}$.

В соответствии с правилом параллелограмма $\overrightarrow{NM} =\overrightarrow{N_{1} M_{1} } +\overrightarrow{N_{2} M_{2} }$, то есть $\vec{a}=\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}+\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}$.

С другой стороны, векторы $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } || \vec{e}_{1}$, $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } || \vec{e}_{2}$, поэтому $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } =\left(mes_{\vec{e}_{1} } \overrightarrow{N_{1} M_{1} } \right) \vec{e}_{1}$, $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } =\left(mes_{\vec{e}_{2} } \overrightarrow{N_{2} M_{2} } \right) \vec{e}_{2}$, следовательно, $\vec{a}=\left(mes_{\vec{e}_{1} } (\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a})\right) \vec{e}_{1} +\left(mes_{\vec{e}_{2} } (\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a})\right) \vec{e}_{2}$.

Определение:

Алгебраическая мера геометрической проекции вектора на координатную ось называется алгебраической проекцией вектора.

Рис. 2. Точки [math]\displaystyle{ N }[/math] и [math]\displaystyle{ M }[/math] спроецированы на оси: получаются [math]\displaystyle{ N_1M_1 = \operatorname{Proj}_{e_1} a }[/math] и [math]\displaystyle{ N_2M_2 = \operatorname{Proj}_{e_2} a }[/math]. Алгебраические проекции — меры этих векторов, они и служат координатами: [math]\displaystyle{ a = (\operatorname{Apr}_{e_1} a)e_1 + (\operatorname{Apr}_{e_2} a)e_2 }[/math].

Алгебраическая проекция вектора на ось $O\vec{e}_{i} $ обозначается $Apr_{\vec{e}_{i} } \vec{a}=mes_{\vec{e}_{i} } (\mbox{Proj}_{\vec{e}_{i} } \vec{a})$. Тогда с учетом введенного обозначения вектор $\vec{a}=(Apr_{\vec{e}_{i} } \vec{a})\vec{e}_{1} +(Apr_{\vec{e}_{2} } \vec{a})\vec{e}_{2}$, то есть аффинными координатами произвольного вектора являются его алгебраические проекции на координатные оси, а аффинными координатами произвольной точки — алгебраические проекции ее радиус-вектора на соответствующие координатные оси.

Допустим теперь, что в системе координат $O\vec{e}_{1} \vec{e}_{2} \vec{e}_{3} $ задан произвольный вектор $\vec{a}=$$\overrightarrow{NM} $. Спроектируем точки $N$ и $M$ на координатные оси. Тогда точки $N_1$ и $M_1$ определяют вектор $\overrightarrow{N_{1} M_{1} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}$, точки $N_2$ и $M_2$ — вектор $\overrightarrow{N_{2} M_{2} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}$, а точки $N_3$ и $M_3$ — соответственно вектор $\overrightarrow{N_{3} M_{3} } =\mbox{Proj}_{\vec{e}_{3} } \vec{a}$. В соответствии с правилом сложения векторов $\overrightarrow{NM} =\overrightarrow{N_{1} M_{1} } +\overrightarrow{N_{2} M_{2} } +\overrightarrow{N_{3} M_{3} }$, поэтому $\vec{a}=\mbox{Proj}_{\vec{e}_{1} } \vec{a}+\mbox{Proj}_{\vec{e}_{2} } \vec{a}+\mbox{Proj}_{\vec{e}_{3} } \vec{a}=(Apr_{\vec{e}_{1} } \vec{a})\vec{e}_{1} +(Apr_{\vec{e}_{2} } \vec{a})\vec{e}_{2} +(Apr_{\vec{e}_{3} } \vec{a})\vec{e}_{3}$.

Следовательно, аффинные координаты произвольного вектора есть его алгебраические проекции на координатные оси, а аффинные координаты произвольной точки — алгебраические проекции ее радиус-вектора на соответствующие координатные оси.

---

Конспект: Алгебра и геометрия