Линейные операции над векторами
Вектором называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является начальной и какая — конечной. Начальную точку называют началом или точкой приложения вектора, а конечную — концом вектора.
Под направлением вектора понимают направление от его начала к концу. Направление отмечается стрелкой, помещаемой у конца вектора.
Длина или модуль вектора есть длина соответствующего отрезка, определяющего данный вектор.
Вектор с началом $A$ и концом $B$ обозначают символом $\overrightarrow {AB}$. Иногда вектор обозначают одной буквой со стрелкой, помещенной сверху этой буквы, например, $\vec{a}$. Длину вектора обозначают соответственно как $\vert \overrightarrow{AB} \vert$, $\vert \vec{a} \vert$ и т. д.
Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор обозначают обычно символом $\vec{0}$. Нулевой вектор не имеет определенного направления (направление произвольно) и его длина равна нулю: $\vert \vec{0} \vert = 0$.
Вектор называют единичным, если его длина равна единице в принятой системе измерения.
Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Векторы коллинеарны, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.
Два коллинеарных вектора $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {CD}$ называются сонаправленными, если для любых точек $M$ и $N$, выбранных на лучах, определенных этими векторами, при условии, что $\vert AM \vert = \vert CN \vert $, расстояние $\vert MN\vert$ не меняется.
Для сонаправленных векторов будем использовать обозначение $\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {CD} $.
Два коллинеарных, но не сонаправленных вектора, называются противоположно направленными (обозначение $\overrightarrow {AB} \uparrow \downarrow \overrightarrow {CD}$).
Очевидно, что $\overrightarrow {AB} $ и $\overrightarrow {CD} $ коллинеарны. Так как $\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {EF} $, то для любых точек $M$ и $P$ таких, что $\vert AM \vert = \vert EP\vert$ расстояние $\vert MP\vert$ не меняется.
Поскольку $\overrightarrow {EF} \uparrow \uparrow \overrightarrow {CD}$, то для любых точек $N$ и $P$ таких, что $\vert CN\vert = \vert EP\vert$ расстояние $\vert NP\vert$ не меняется. Но тогда $\vert AM\vert = \vert CN\vert $ и расстояние $\vert MN\vert $ не меняется. Поэтому $\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {CD} $.
Заметим, что направления неколлинеарных векторов не подлежат сравнению.
Ортом ненулевого вектора называют единичный вектор, сонаправленный этому вектору.
Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину (векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$). Для равных векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$ используют обозначение $\vec{a} = \vec{c}$.
Векторы противоположны, если они противоположно направлены и имеют одинаковую длину (векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$). Для противоположных векторов $\vec{b}$ и $\vec{d}$ используют обозначение $\vec{b} = - \vec{d}$.
Ясно, что если $\vec{a} = \vec{b}$, то и $\vec{b} = \vec{a}$ (коммутативность). Кроме того, если $\vec{a} = \vec{b}$, $\vec{b} = \vec{c}$, то $\vec{a} = \vec{c}$ (транзитивность).
Заметим, что равенство векторов определено с точностью до их положения в пространстве. Иными словами, мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. В дальнейшем будем рассматривать свободные векторы, т. е. векторы, точки приложения которых произвольны.
Говорят, что векторы следуют друг за другом, если начало каждого из них, начиная со второго, совпадает с концом предыдущего вектора.
Суммой векторов, следующих друг за другом, называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора.
Суммой произвольно расположенных векторов называется сумма векторов, следующих друг за другом, построенных, начиная с некоторой точки $О$, и равных соответственно данным векторам.
Сумма произвольно расположенных векторов не зависит от того, как выбрана начальная точка $О$ при построении векторов, следующих друг за другом.
Сумма векторов определяется однозначно и обладает очевидными свойствами:
- $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (коммутативность)
- $(\vec{a} + \vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b} + \vec{c})$ (ассоциативность)
- $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ (особая роль нулевого вектора)
- Для любого вектора $\vec{a}$ существует такой вектор $\vec{c}$, что $\vec{a} + \vec{c} = \vec{0}$ (свойство противоположного вектора).
Указанные свойства непосредственно вытекают из определения суммы векторов.
Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называют такой вектор $\vec{d}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$, т. е. $\vec{d} + \vec{b} = \vec{a}$. Разность векторов $\vec{d}$ обозначается $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$.
Произведением вектора $\vec{a}$ на вещественное число $\alpha$ называется вектор $\vec{p} = \alpha \vec{a}$, определяемый следующим образом: вектор $\vec{p}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, имеет направление вектора $\vec{a}$, если $\alpha > 0$, и направление, противоположное вектору $\vec{a}$, если $\alpha < 0$, при этом $\left| \vec{p} \right| = \left| \alpha \right| \cdot \left| \vec{a} \right|$.
Ясно, что если $\alpha = 0$ или $\vec{a} = \vec{0}$, то вектор $\vec{p} = \alpha \vec{a}=\vec{0}$. Заметим также, что если $\vec{e}$ — это орт вектора $\vec{a} \ne \vec{0}$, то $\vec{a} = \vert \vec{a}\vert \vec{e}$, откуда $\vec{e} = \frac{1}{\vert \vec{a}\vert }\vec{a}$.
Произведение вектора на число определяется однозначно и обладает следующими свойствами:
- $\lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu )\vec{a}$ (ассоциативность);
- $(\lambda + \mu )\vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$ (дистрибутивность относительно суммы чисел);
- $\lambda (\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$ (дистрибутивность относительно суммы векторов);
- $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ (свойство единицы).
Рассмотренные операции (сложение векторов и умножение вектора на вещественное число) называются линейными операциями над векторами.
Рассмотрим векторы $\vec{b}$ и $\vec{c} = \alpha \vec{a}$, где $\alpha = \frac{\vert \vec{b}\vert }{\vert \vec{a}\vert}$, если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, и $\alpha = -\frac{\vert \vec {b}\vert }{\vert \vec{a}\vert }$, если $\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b}$.
Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ коллинеарны, ибо вектор $\vec{c}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, а вектор $\vec{a}$ по условию коллинеарен вектору $\vec{b}$. Модули векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равны, так как $\vert \vec{c}\vert = \frac{\vert \vec{b}\vert }{\vert \vec{a}\vert } \cdot \vert \vec{a}\vert = \vert \vec{b}\vert$. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ одинаково направлены по построению $\alpha$. Следовательно, $\vec{b}=\vec{c}$.
Конспект: Алгебра и геометрия