Разложение полинома на множители

Теорема:

В алгебраически замкнутом поле любой полином [math]\displaystyle{ a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n }[/math], [math]\displaystyle{ a_0 \neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], имеет разложение на линейные множители вида [math]\displaystyle{ a_0(x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n) }[/math], и такое разложение единственное.

Доказательство:

Оба утверждения будут доказаны с помощью метода математической индукции по степени полинома.

Доказательство возможности разложения. Полином первой степени [math]\displaystyle{ a_0x + a_1 }[/math] при [math]\displaystyle{ a_0 \neq 0 }[/math] в любом поле имеет корень [math]\displaystyle{ c = - \frac{a_1}{a_0} }[/math], и [math]\displaystyle{ a_0x + a_1 = a_0(x - c) }[/math]. Пусть теперь [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math]. В силу алгебраической замкнутости полином [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] имеет по крайней мере один корень [math]\displaystyle{ c_1 }[/math] и, следовательно, [math]\displaystyle{ f(x) = (x - c_1) \cdot f_1(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ f_1(x) = a_0x^{n-1} + b_1x^{n - 2} + \dots + b_{n-1} }[/math] — полином степени [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. В силу индуктивного предположения [math]\displaystyle{ f_1(x) = a_0(x - c_2) \dots (x - c_n) }[/math], откуда [math]\displaystyle{ f(x) = a_0(x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n) }[/math].

Доказательство единственности разложения. При [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] если [math]\displaystyle{ a_0x + a_1 = a_0(x - c) = a_0(x - c^\prime) }[/math], то [math]\displaystyle{ a_0(c - c^\prime) = 0 }[/math], откуда [math]\displaystyle{ c = c^\prime }[/math], т.к. [math]\displaystyle{ a_0 \neq 0 }[/math].

Пусть теперь [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math] и есть два разложения [math]\displaystyle{ f(x) = a_0(x - c_1)(x - c_2) \dots (x - c_n) = a_0(x - c_1^\prime)(x - c_2^\prime) \dots (x - c_n^\prime) }[/math]. $\\$ Положим [math]\displaystyle{ x = c_1 }[/math], получим

[math]\displaystyle{ f(c_1) = 0 = a_0(c_1 - c_1^\prime)(c_1 - c_2^\prime) \dots (c_1 - c_n^\prime) }[/math]. Т.к. [math]\displaystyle{ a_0 \neq 0 }[/math], то без потери общности можно считать, что [math]\displaystyle{ c_1 = c_1^\prime }[/math]

и [math]\displaystyle{ a_0\boldsymbol{(x - c_1)}(x - c_2) \dots (x - c_n) = a_0\boldsymbol{(x - c_1)}(x - c_2^\prime) \dots (x - c_n^\prime) }[/math].

Т.к. кольцо полиномов над полем — область целостности, то можно сократить обе части равенства на [math]\displaystyle{ x - c_1 }[/math], получив [math]\displaystyle{ a_0(x - c_2)(x - c_3) \dots (x - c_n) = a_0(x - c_2^\prime)(x - c_3^\prime) \dots (x - c_n^\prime) }[/math]. В силу индуктивного предположения эти разложения совпадают. Следовательно совпадают и исходные разложения [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]