Фаддеев Соминский: Задача 121

Представить в тригонометрической форме число [math]\displaystyle{ 1 + \cos \phi + i \sin \phi }[/math], считая [math]\displaystyle{ -\pi \lt \phi \leq \pi }[/math].

Решение

Воспользуемся формулами двойного угла [math]\displaystyle{ \cos 2\varphi = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi = 2 \cos^2 \varphi - 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi }[/math] и получим запись в тригонометрической форме:

[math]\displaystyle{ 1 + \cos \varphi + i \sin \varphi }[/math] [math]\displaystyle{ = 2 \cos^2 \frac{\varphi}{2} + i \cdot 2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ = 2 \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right) }[/math].

Так как [math]\displaystyle{ -\pi \lt \phi \leq \pi }[/math], то модуль комплексного числа [math]\displaystyle{ 2 \cos \frac{\varphi}{2} \gt 0 }[/math].