Эрмитовы формы

Определение:

Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных элементов [math]\displaystyle{ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n }[/math] и сопряженных переменных [math]\displaystyle{ \bar \xi_1, \bar \xi_2, ..., \bar \xi_n }[/math] вида [math]\displaystyle{ g(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n ) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\alpha_{ij} \xi_i \bar {\xi}_j} }, \alpha_{ji} = \bar \alpha_{ij}. }[/math]

В матричной записи эрмитова форма имеет вид [math]\displaystyle{ g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}} }[/math], где [math]\displaystyle{ {\rm {\bf z}}^\ast = (\bar \xi_1, \bar \xi_2, ..., \bar \xi_n) }[/math], причем матрица [math]\displaystyle{ {\rm {\bf A}} = {\rm {\bf A}}^\ast }[/math].

Заметим, что все диагональные коэффициенты (когда [math]\displaystyle{ i=j }[/math]) у эрмитовой формы всегда являются вещественными числами.

Определение:

Матрицы, совпадающие со своими сопряженными матрицами, называются эрмитовыми.

Будем предполагать, что если [math]\displaystyle{ {\rm {\bf z}} = {\rm {\bf Bu}}, \det {\rm {\bf B}} \ne 0 }[/math], то сопряженные переменные преобразуются по формулам [math]\displaystyle{ {\rm {\bf \bar {z}}} = {\rm {\bf \bar {B}\bar {u}}}, \det {\rm {\bf \bar {B}}} \ne 0 }[/math], следовательно, [math]\displaystyle{ {\rm {\bf z}}^\ast = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf B}}^\ast }[/math]. Поэтому эрмитова форма в результате невырожденного преобразования приводится к виду [math]\displaystyle{ h({\rm {\bf u}}) = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf ABu}} = {\rm {\bf u}}^\ast {\rm {\bf Cu}}. }[/math]

Покажем, что матрица [math]\displaystyle{ \bf C }[/math] является эрмитовой. С этой целью воспользуемся определением, получаем [math]\displaystyle{ {\rm {\bf C}}^\ast = ({\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf AB}})^\ast = {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf A}}^\ast {\rm {\bf B}}^{\ast \ast } = {\rm {\bf B}}^\ast {\rm {\bf AB}} = {\rm {\bf C}}. }[/math]

Обратим внимание на то, что для любого [math]\displaystyle{ {\rm {\bf z}} }[/math] эрмитова форма принимает вещественные значения. Действительно, допустим, что [math]\displaystyle{ {\rm {\bf z}} }[/math] произвольный столбец с комплексными элементами. Тогда, если [math]\displaystyle{ g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}} }[/math], [math]\displaystyle{ {\rm {\bf A}} = {\rm {\bf A}}^\ast }[/math], то [math]\displaystyle{ \overline {g({\rm {\bf z}})} = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf A}}^\ast {\rm {\bf z}}^{\ast \ast } = {\rm {\bf z}}^\ast {\rm {\bf Az}} = g({\rm {\bf z}}) }[/math], что и требовалось доказать.

Определитель эрмитовой матрицы также является вещественным числом, поскольку [math]\displaystyle{ \overline {\det {\rm {\bf A}}} = \det {\rm {\bf \bar {A}}} = \det {\rm {\bf A}}^\ast = \det {\rm {\bf A}}. }[/math]

Определение:

Говорят, что эрмитова форма имеет канонический вид, если ее матрица является диагональной, т. е.

[math]\displaystyle{ g({\rm {\bf z}}) = {\rm {\bf z}}^\ast diag(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n ){\rm {\bf z}} = \lambda_1 \xi_1 \bar \xi_1 + \lambda_2 \xi_2 \bar \xi_2 + \cdots + \lambda_n \xi_n \bar \xi_n = \lambda_1 \vert \xi_1 \vert ^2 + \lambda_2 \vert \xi_2 \vert ^2 + \cdots + \lambda_n \vert \xi_n \vert ^2, }[/math] где [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math], [math]\displaystyle{ i = \overline {1,n} }[/math] вещественные числа.

Приведем без доказательства основные свойства эрмитовых форм, каждое из которых имеет соответствующий аналог среди свойств вещественных квадратичных форм.

Теорема:

Эрмитова форма приводится к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования с комплексной матрицей.

Теорема:

Ранг эрмитовой формы совпадает с рангом ее матрицы и, в свою очередь, равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде.

Теорема:

Для того чтобы эрмитова форма была положительно определена необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в ее каноническом виде были строго положительны.

Теорема:

Для того чтобы эрмитова форма с невырожденной матрицей приводилась к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры [math]\displaystyle{ \det {\rm {\bf A}}_i }[/math], [math]\displaystyle{ i = \overline {1,n} }[/math], были отличны от нуля. При этом коэффициенты канонического вида этой эрмитовой формы равны [math]\displaystyle{ \lambda_1 = \det {\rm {\bf A}}_1, \,\lambda_2 = \frac{\det {\rm {\bf A}}_2 }{\det {\rm {\bf A}}_1 }, ..., \lambda_n = \frac{\det {\rm {\bf A}}_n }{\det {\rm {\bf A}}_{n - 1} }. }[/math]

Теорема:

Эрмитова форма положительно определена тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \det {\rm {\bf A}}_i \gt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ i = \overline {1,n} }[/math].

Теорема:

Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде эрмитовой формы не зависит от выбора преобразования.

Теорема:

Все собственные значения эрмитовой матрицы являются вещественными.

Теорема:

Любая эрмитова форма с помощью унитарного преобразования приводится к каноническому виду, в котором коэффициенты совпадают с собственными значениями эрмитовой матрицы, а столбцы матрицы преобразования равны собственным векторам этой матрицы.

Теорема:

Две эрмитовы формы, одна из которых является положительно определенной, приводятся к каноническому виду одним и тем же преобразованием.