Алгебра и геометрия

Полиномы и их корни

• Комплексные числа
• Теорема Безу
• Схема Горнера
• Разложение полинома на множители
• Наибольший общий делитель полиномов
• Полиномы с вещественными коэффициентами
• Рациональные дроби

Матрицы и определители

• Матрицы и операции с ними
• Определители второго и третьего порядка
• Перестановки
• Определители порядка n
• Алгебраические дополнения и миноры
• Определитель ступенчатой матрицы
• Блочные матрицы
• Определитель произведения двух матриц
• Обратная матрица
• Ортогональные матрицы
• Характеристический полином матрицы

Линейные пространства

• Линейные операции над векторами
• Линеал
• Линейная зависимость и независимость векторов
• Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве
• Базис и размерность линеала
• Ранг матрицы
• Изоморфизм линеалов
• Аффинные пространства
• Аффинные системы координатa
• Геометрический смысл аффинных координат
• Декартовые прямоугольные системы координат
• Полярная система координат
• Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве
• Сферические координаты в трехмерном пространстве
• Деление вектора в заданном отношении
• Скалярное произведение векторов
• Евклидовы, нормированные и метрические пространства
• Векторное произведение векторов
• Смешанное произведение трех векторов
• Двойное векторное произведение

Системы линейных уравнений

• Совместные, определенные, равносильные системы линейных уравнений
• Системы линейных уравнений с квадратной матрицей
• Структура общего решения однородной системы линейных уравнений
• Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений
• Метод Гаусса
• Геометрический смысл систем линейных уравнений
• Уравнение с угловым коэффициентом прямой на плоскости
• Геометрический смысл систем линейных неравенств
• Нормированное уравнение плоскости (прямой)
• Пучки плоскостей (прямых на плоскости)
• Взаимное расположение прямых и плоскостей

Квадратичные формы

• Приведение квадратичной формы к каноническому виду
• Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования
• Положительно определенные квадратичные формы
• Закон инерции
• Собственные значения и собственные векторы матрицы
• Подобные матрицы
• Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду
• Унитарные матрицы
• Эрмитовы формы

Преобразование координат

• Преобразование декартовых прямоугольных координат
• Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве
• Преобразование аффинных координат
• Линии и поверхности второго порядка
• Алгебраические линии и поверхности
• Эллипс
• Гипербола
• Парабола
• Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах
• Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
• Классификация линий второго порядка
• Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования декартовых координат
• Исследование общего уравнения линии второго порядка с помощью инвариантов
• Поверхности вращения
• Эллипсоид
• Гиперболоиды
• Параболоиды
• Цилиндрические поверхности
• Конические поверхности

Элементы общей теории кривых и поверхностей

• Векторная функция скалярного аргумента
• Производная векторной функции скалярного аргумента. Формула Тейлора. Интеграл от векторной функции
• Понятие кривой
• Касательная к кривой
• Нормальная плоскость кривой
• Соприкасающаяся плоскость кривой
• Спрямляющая плоскость кривой
• Нормаль
• Главная нормаль
• Бинормаль
• Длина дуги кривой
• Естественная параметризация
• Кривизна кривой
• Кручение кривой
• Формулы Френе
• Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника
• Натуральные уравнения кривой
• Понятие поверхности
• Касательная прямая к поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности
• Первая квадратичная форма
• Длина дуги кривой на поверхности
• Угол между кривыми на поверхности
• Площадь поверхности
• Вторая квадратичная форма поверхности
• Кривизна кривой, лежащей на поверхности

Геометрическая структура систем линейных уравнений

• Линейные подпространства
• Сумма и пересечение линейных подпространств
• Многомерные плоскости
• Взаимное расположение многомерных плоскостей

Геометрическая структура систем линейных неравенств

• Выпуклые множества
• Выпуклые конусы
• Отделимость выпуклых множеств
• Конечные конусы
• Выпуклое многогранное множество
• Грани многогранного множества
• Параметрическое уравнение многогранного множества
• Геометрия задачи линейного программирования

Практика

• Задачи по высшей алгебре
• Задачи по аналитической геометрии